Chúng ta sẽ giải từng câu hỏi trong bài toán này.

### Câu 1

**a. Tính cos 2α**

Biết rằng \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Ta có thể tính \(\cos \alpha\) bằng định lý Pytago:

\[
\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1
\]

Thay giá trị của \(\sin \alpha\):

\[
\cos^2 \alpha + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1
\]
\[
\cos^2 \alpha + \frac{9}{25} = 1
\]
\[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]

Vì α nằm trong khoảng \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\), \(\cos \alpha\) âm:

\[
\cos \alpha = -\frac{4}{5}
\]

Tiếp theo, ta có công thức cho \(\cos 2\alpha\):

\[
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha
\]

Thay giá trị vào:

\[
\cos 2\alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2
\]
\[
= \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}
\]

**b. Tính P = \(\frac{\tan \alpha}{1+\tan \alpha}\)**

Trước hết, ta tính \(\tan \alpha\):

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}
\]

Giá trị của P là:

\[
P = \frac{\tan \alpha}{1 + \tan \alpha} = \frac{-\frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = -3
\]

### Câu 2

**a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(SAB\) và \(SCD\)**

Giả sử mặt phẳng \(SAB\) và \(SCD\) đã được xác định. Giao tuyến của hai mặt phẳng có thể tìm ra bằng phương pháp hình học hoặc đại số, trong đó cần có hệ số mặt phẳng cho mỗi mặt để tìm phương trình giao tuyến.

**b. Tìm giao điểm của đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(AMN\)**

Tương tự, ta cần sử dụng các phương trình hình học để tìm điểm giao nhau giữa đường thẳng và mặt phẳng.

### Câu 3

**Tìm tổng tát các nghiệm của phương trình \(\cos(\sin x) = 1\) trên \([0, 2\pi]\)**

Phương trình \(\cos(\sin x) = 1\) chỉ ra rằng \(\sin x\) phải là bội số nguyên của \(2\pi\), tức là:

\[
\sin x = 2k\pi \quad \text{k là số nguyên}
\]

Vì \(\sin x\) chỉ đạt giá trị trong khoảng [-1, 1], chỉ có \(k=0\) như là giá trị khả thi:

\[
\sin x = 0 \implies x = n\pi \quad (n = 0, 1, 2)
\]

Trong khoảng \([0, 2\pi]\), các nghiệm là \(x = 0, \pi, 2\pi\).

Tổng các nghiệm này:

\[
0 + \pi + 2\pi = 3\pi
\]

Như vậy, tổng các nghiệm là \(3\pi\).