Cho Δ ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. Giả sử AC = 6cm, hãy tính HI? Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho IK = IH. CMR: Tứ giác AHCK là hình chữ nhật

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Tính HI
Trong tam giác cân \( \triangle ABC \) tại \( A \), với \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \), ta có:

- \( AC = 6 \) cm
- Do I là trung điểm của \( AC \), nên \( AI = IC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) cm.

Trong tam giác vuông \( AHI \):
- \( AI = 3 \) cm.
- \( AH \) là đường cao, từ đó, ta có thể tính \( HI \) thông qua công thức liên quan đến diện tích, hoặc nếu biết \( AH \), thì có thể sử dụng định lý Pythagore.

Tuy nhiên, thông tin về chiều cao \( AH \) không được cho trước. Do đó, sẽ không thể tính chính xác \( HI \) chỉ dựa trên thông tin này.

### b) Chứng minh tứ giác AHCK là hình chữ nhật
Do \( K \) nằm trên tia đối của \(\overrightarrow{IH}\) và \( IK = IH\), ta có:
- \( AH \) vuông với \( HC \) (vì \( AH \) là đường cao).
- \( HI \) vuông với \( AC \) tại \( I \).

Từ đó, ta có:
- \( HI \) song song với \( CK \) và cũng có \( AH \) vuông góc với \( CK \).
- Điều này chứng tỏ rằng tứ giác \( AHCK \) có 2 cặp cạnh đối song song và đều vuông góc.

Như vậy, \( AHCK \) là hình chữ nhật.

### c) Tứ giác AKBH là hình gì?
Để xác định hình dạng của tứ giác \( AKBH \), ta phân tích:
- \( AH \) vuông góc với \( KB \) (vì \( AH \) là đường cao và \( K \) nằm trên tia đối \( IH \)).
- Nếu \( I \) và \( K \) được vẽ đúng cách (theo tính chất của hình chữ nhật), thì tứ giác \( AKBH \) sẽ có 2 cặp cạnh đối song song và vuông góc với nhau, nên \( AKBH \) cũng sẽ là hình chữ nhật.

### d) G là trung điểm của AB
- Chứng minh \( AH \), \( BK \), và \( GI \) đồng quy.
- Đầu tiên, \( H \) là chân đường cao từ \( A \) đến \( BC \), và \( K \) là điểm đối xứng của \( I \), tạo thành một hình đối xứng giữa các điểm.

Khi \( G \) là trung điểm của \( AB \), các đường thẳng \( AH \), \( BK \), \( GI \) sẽ đồng quy tại điểm \( G \), vì chúng sẽ giao nhau tại trung điểm của đoạn \( AB \).

Do đó, tứ giác \( AHCK \) là hình chữ nhật, và các đường thẳng \( AH \), \( BK \), \( GI \) sẽ đồng quy tại \( G \).