Để chứng minh biểu thức \( P = (3x^5 - 6x^4 + 6x^2) : (-3x^2) + (x - 2)^3 \) bằng \(-4x^2 + 12x - 10\), chúng ta sẽ thực hiện từng phần trong biểu thức.

1. **Tính phần đầu tiên**:
\[
(3x^5 - 6x^4 + 6x^2) : (-3x^2)
\]
Chia từng hạng tử:
\[
= \frac{3x^5}{-3x^2} - \frac{6x^4}{-3x^2} + \frac{6x^2}{-3x^2}
\]
\[
= -x^3 + 2x^2 - 2
\]

2. **Tính phần thứ hai**:
\[
(x - 2)^3
\]
Sử dụng công thức khai triển:
\[
= x^3 - 3 \cdot 2x^2 + 3 \cdot 4x - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8
\]

3. **Cộng hai phần lại**:
\[
P = (-x^3 + 2x^2 - 2) + (x^3 - 6x^2 + 12x - 8)
\]
Kết hợp các hạng tử:
- Hạng tử \(x^3\): \(-x^3 + x^3 = 0\)
- Hạng tử \(x^2\): \(2x^2 - 6x^2 = -4x^2\)
- Hạng tử \(x\): \(12x\)
- Hạng tử số: \(-2 - 8 = -10\)

Vậy,
\[
P = -4x^2 + 12x - 10
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng \( P = -4x^2 + 12x - 10 \).