3n + 9 chia hết cho n? Tìm tất cả các số tự nhiên n thoả mãn

Để tìm tất cả các số tự nhiên \( n \) sao cho \( 3n + 9 \) chia hết cho \( n + 2 \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Viết điều kiện chia hết**: Ta cần \( 3n + 9 \equiv 0 \mod (n + 2) \).
Điều này có nghĩa là \( 3n + 9 = k(n + 2) \) với \( k \) là một số nguyên.

2. **Biến đổi phương trình**:
\[
3n + 9 = kn + 2k
\]
Sắp xếp lại:
\[
(3 - k)n + (9 - 2k) = 0
\]

3. **Giải phương trình**: Ta cần \( 9 - 2k \) chia hết cho \( 3 - k \):
\[
9 - 2k = m(3 - k)
\]
với \( m \) là một số nguyên.

4. **Xét trường hợp**:
Thử các giá trị của \( k \) (có thể từ \( k = 0 \) đến một số lớn hơn).

- **Nếu \( k = 1 \)**:
\[
9 - 2(1) = 9 - 2 = 7 \quad và \quad 3 - 1 = 2 \quad (7 \text{ không chia hết cho } 2)
\]

- **Nếu \( k = 2 \)**:
\[
9 - 2(2) = 9 - 4 = 5 \quad và \quad 3 - 2 = 1 \quad (5 \text{ chia hết cho } 1)
\]
(cho \( k = 2 \), phương trình có nghiệm)

- **Nếu \( k = 0 \)**:
\[
9 - 2(0) = 9 \quad và \quad 3 - 0 = 3 \quad (9 \text{ chia hết cho } 3)
\]
(cho \( k = 0 \), phương trình có nghiệm)

5. **Nghiệm**:
Từ kết quả trên, chúng ta sẽ tìm các giá trị của \( n \):
- Với \( k = 0 \):
\[
3n + 9 = 0(n + 2) \Rightarrow 3n + 9 = 0 => n = -3 \quad (\text{không hợp lệ})
\]

- Với \( k = 2 \):
\[
3n + 9 = 2(n + 2) \Rightarrow 3n + 9 = 2n + 4 \Rightarrow n = -5 \quad (\text{cũng không hợp lệ})
\]

6. **Kiểm tra tiếp các giá trị khác**: Thực chất, chúng ta cũng kiểm tra điều kiện chia hết qua các số \( n \):
\[
3n + 9 = q(n + 2)
\]
từ đó suy ra các giá trị \( n \) cụ thể.

7. **Kết luận**: Từ các phép thử và tính toán, ta có thể thấy rằng:
* Không tồn tại giá trị \( n \) tự nhiên nào thỏa mãn điều kiện cần tìm.

Do đó, không có số tự nhiên nào \( n \) sao cho \( 3n + 9 \) chia hết cho \( n + 2 \).