Tính giá trị biểu thức:

Để tính các giá trị của các biểu thức \( A \) sau đây, chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

### 1. Biểu thức đầu tiên:
\[ A_1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots + \frac{1}{3^{20}} \]

Đây là một cấp số nhân với
- \( a = \frac{1}{3} \)
- \( q = \frac{1}{3} \)
- Số hạng cuối cùng là \( n = 20 \).

Công thức tổng của một cấp số nhân là:
\[ S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

Thay vào công thức:
\[
A_1 = \frac{1/3 (1 - (1/3)^{20})}{1 - 1/3} = \frac{1/3 (1 - 1/3^{20})}{2/3} = \frac{1 - 1/3^{20}}{2}
\]

### 2. Biểu thức thứ hai:
\[ A_2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{7^3} + \ldots + \frac{1}{7^{100}} \]

Cấp số nhân này có:
- \( a = \frac{1}{7} \)
- \( q = \frac{1}{7} \)
- Số hạng cuối là \( n = 100 \).

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân:
\[
A_2 = \frac{1/7 (1 - (1/7)^{100})}{1 - 1/7} = \frac{1/7 (1 - 1/7^{100})}{6/7} = \frac{1 - 1/7^{100}}{6}
\]

### 3. Biểu thức thứ ba:
\[ A_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^5} + \ldots + \frac{1}{2^{99}} \]

Thực tế, đây là cấp số nhân của các số hạng lẻ với bậc 2, ở đây số hạng số mũ là:
\( 1, 3, 5, \ldots, 99 \), từ đó chúng ta có:
- \( n = 50 \) (vì số hạng lẻ từ 1 đến 99 có 50 số).
- \( a = \frac{1}{2} \) ở số hạng thứ nhất.
- Công sai \( q = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \).

Áp dụng công thức:
\[
A_3 = \frac{1/2 (1 - (1/4)^{50})}{1 - 1/4} = \frac{1/2 (1 - 1/4^{50})}{3/4} = \frac{2(1 - 1/4^{50})}{3}
\]

### 4. Biểu thức thứ tư:
\[ A_4 = \frac{3}{5} + \frac{3}{5^4} + \frac{3}{5^7} + \ldots + \frac{3}{5^{100}} \]

Cấp số nhân này có bậc 3 (3, 6, 9, ..., 99):
- \( n = 34 \) (vì số hạng từ 3 đến 99 là 34 số).
- \( a = \frac{3}{5} \)
- Công sai \( q = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \).

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân:
\[
A_4 = \frac{3/5 (1 - (1/125)^{34})}{1 - 1/125} = \frac{\frac{3}{5} (1 - (1/125)^{34})}{124/125} = \frac{3*125(1 - (1/125)^{34})}{5*124}
\]

### Tóm tắt kết quả:

1. \( A_1 = \frac{1 - 1/3^{20}}{2} \)
2. \( A_2 = \frac{1 - 1/7^{100}}{6} \)
3. \( A_3 = \frac{2(1 - 1/4^{50})}{3} \)
4. \( A_4 = \frac{3*125(1 - (1/125)^{34})}{5*124} \)

Đó là các biểu thức được tính toán. Xuất giá trị cụ thể nếu cần thêm chi tiết!