Để giải hệ phương trình này, ta có hai hệ phương trình:

Hệ 1:
\[
\begin{cases}
x + y + z = 4 \quad (1) \\
2x - y + z = 2 \quad (2) \\
4x + y + z = 7 \quad (3)
\end{cases}
\]

Hệ 2:
\[
\begin{cases}
x - 2y + 5z = -7 \quad (4) \\
3x + y + z = 0 \quad (5) \\
2x + 3y - z = 4 \quad (6)
\end{cases}
\]

### Bước 1: Giải hệ phương trình đầu tiên

**Từ (1)**: Thay z = 4 - x - y vào (2) và (3).

**Thay vào (2)**:
\[
2x - y + (4 - x - y) = 2 \\
x - 2y + 4 = 2 \\
x - 2y = -2 \quad (7) \quad \text{(1)}
\]

**Thay vào (3)**:
\[
4x + y + (4 - x - y) = 7 \\
3x + 4 = 7 \\
3x = 3 \\
x = 1
\]

**Thay x = 1 vào (7)**:
\[
1 - 2y = -2 \\
-2y = -3 \\
y = \frac{3}{2}
\]

**Thay x và y vào (1)** để tìm z:
\[
1 + \frac{3}{2} + z = 4 \\
\frac{5}{2} + z = 4 \\
z = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}
\]

Giải của hệ 1 là:
\[
(x, y, z) = \left(1, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)
\]

### Bước 2: Giải hệ phương trình thứ hai

Ta làm tương tự với hệ 2.

**Từ (4)**: Giải cho z.
\[
z = -7 - x + 2y \quad (8)
\]

**Thay vào (5)**:
\[
3x + y + (-7 - x + 2y) = 0 \\
3x + y - 7 - x + 2y = 0 \\
2x + 3y - 7 = 0 \quad (9)
\]

**Thay vào (6)**:
\[
2x + 3y - (-7 - x + 2y) = 4 \\
2x + 3y + 7 + x - 2y = 4 \\
3x + y + 7 = 4 \\
3x + y = -3 \quad (10)
\]

Ta có 2 phương trình mới (9) và (10):
1. \( 2x + 3y = 7 \)
2. \( 3x + y = -3 \)

### Giải hệ hai phương trình (9) và (10)

Từ phương trình (10):
\[
y = -3 - 3x \quad (11)
\]

Thay vào (9):
\[
2x + 3(-3 - 3x) = 7 \\
2x - 9 - 9x = 7 \\
-7x - 9 = 7 \\
-7x = 16 \\
x = -\frac{16}{7}
\]

Thay x vào (11) để tìm y:
\[
y = -3 - 3\left(-\frac{16}{7}\right) = -3 + \frac{48}{7} = \frac{-21 + 48}{7} = \frac{27}{7}
\]

Thay x và y vào (8) để tìm z:
\[
z = -7 - \left(-\frac{16}{7}\right) + 2\left(\frac{27}{7}\right) = -7 + \frac{16}{7} + \frac{54}{7} = -7 + \frac{70}{7} = 0
\]

Giải của hệ 2 là:
\[
(x, y, z) = \left(-\frac{16}{7}, \frac{27}{7}, 0\right)
\]

### Kết luận
Giải của hệ phương trình đầu tiên là \((1, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})\) và của hệ phương trình thứ hai là \((- \frac{16}{7}, \frac{27}{7}, 0)\).