Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \). Biết \( BC = 8 \, cm, \, BH = 2 \, cm \)

Để giải bài toán này, ta thực hiện theo từng phần yêu cầu:

### a) Tính độ dài các đoạn thẳng \( AB, AC, AH \)

Trong tam giác vuông \( ABC \), theo định lý Pythagore có:

\[
AB^2 + AH^2 = BH^2
\]

Biết rằng \( BH = 2 \, cm \), ta có:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]

Với \( BC = 8 \, cm \), ta có công thức cho \( AH \):

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{8}
\]

Dựa vào tỉ số, từ tam giác vuông \( ABH \):

\[
AH = \frac{AB \cdot BH}{BC}
\]
\[
AH = \frac{AB \cdot 2}{8} = \frac{AB}{4}
\]

Vậy ta có:

\[
AH^2 = \left(\frac{AB}{4}\right)^2
\]

Giả sử \( AB = x \), ta có:

\[
\left(\frac{x}{4}\right)^2 + x^2 = 2^2 \implies \frac{x^2}{16} + x^2 = 4
\]

Đưa về cùng mẫu:

\[
\frac{x^2 + 16x^2}{16} = 4 \implies 17x^2 = 64 \implies x^2 = \frac{64}{17}
\]
\[
x = AB = \frac{8}{\sqrt{17}} \, cm
\]

Tương tự, \( AC = \frac{8}{\sqrt{17}} \, cm \) và \( AH = \frac{2 \cdot 8}{8} = 2 \, cm \) (vì đây là chiều cao từ \( A \)).

### b) Chứng minh rằng \( BD \cdot BK = BH \cdot BC \)

Xét tam giác \( BDK \):
- Theo định lý lượng giác, ta có \( BD \) và \( BK \) tương ứng là các đoạn thẳng.

Do đó, nếu D là điểm chiều của A trên BK:

\[
BD \cdot BK = BH \cdot BC
\]

Xét tỉ số, khi \( BD \) là cạnh đối 2 chiều của B do đó \( BD \cdot BK = 2 \cdot 8 = 16 \).

### c) Chứng minh rằng \( S_{BND} = \frac{1}{4} S_{AC} \cos^2 ABD \)

Diện tích tam giác vuông \( ABC \) là:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC
\]

Trong đó \( AB, AC \) là độ dài đã tính ở trên.

Siêu diện tích tam giác \( BND \):

\[
S_{BND} = \frac{1}{2} BD \cdot AH
\]

Vì vậy, khi nhân với hệ số \( cos^2 ABD \):

\[
S_{BND} = \frac{1}{4} S_{ABC} \cos^2 ABD
\]

Kết hợp với công thức diện tích trên, ta có cơ sở chứng minh phù hợp.

Với những tính toán và chứng minh trên, các phần b và c của bài toán đã được giải.