Cho ΔABC có M là trung điểm AB, N thuộc cạnh BC thỏa \[ NB = 2NC, E \text{ là trung điểm } MN, F \text{ thuộc cạnh } AC \text{ sao cho } \overline{AF} = \frac{4}{7} \overline{AC}. \]

Để giải bài tập về tam giác \( \Delta ABC \) và xác định các điểm như M, N, E, F, chúng ta sẽ hỗ trợ từng phần yêu cầu:

### Phần a: Chứng minh \( \overline{BF} = \frac{3}{7}\overline{BA} + \frac{4}{7}\overline{BC} \)

1. **Xác định các điểm**:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) ⇒ \( \overline{AM} = \overline{MB} = \frac{1}{2}\overline{AB} \).
- \( N \) được xác định trên cạnh \( BC \) với điều kiện \( NB = 2NC \). Từ đó, ta có thể tách thành tỷ lệ: \( \overline{BN} = \frac{2}{3}\overline{BC} \) và \( \overline{NC} = \frac{1}{3}\overline{BC} \).
- \( E \) là trung điểm của \( MN \), nên nó cũng có thể được xác định qua tọa độ của \( M \) và \( N \).
- \( F \) nằm trên \( AC \) với \( \overline{AF} = \frac{4}{7} \overline{AC} \) ⇒ \( \overline{FC} = \frac{3}{7} \overline{AC} \).

2. **Sử dụng định lý phân giác tính toán**:
- Từ \( B \) đến \( F \), ta sử dụng tỉ lệ của các đoạn thẳng để tính toán.
- Áp dụng quy tắc chia đoạn cho điểm \( F \) giữa \( A \) và \( C \).

Tính toán theo tỷ lệ sẽ cho kết quả:

\[
\overline{BF} = t \cdot \overline{BA} + (1-t) \cdot \overline{BC}
\]

với \( t = \frac{4}{7} \) cho \( \overline{AF} \) và tương ứng cho phần \( \overline{FC} \).

### Phần b: Phân tích \( BE \) theo \( BA \) và \( BC \)

1. **Tìm toán đồ của \( E \)**:
- \( E \) là trung điểm của đoạn \( MN \), vậy \( \overline{BE} \) sẽ là trung bình của \( BA \) và \( BC \).
- Tính toán:

\[
\overline{BE} = \frac{1}{2} \overline{BA} + \frac{1}{2}\overline{BC}
\]

2. **Kiểm tra tính thẳng hàng**:
- Để chứng minh \( B, E, F \) thẳng hàng, ta có thể kiểm tra xem ba điểm này có cùng tỉ lệ trên đường thẳng nối như đã thực hiện ở bước trước.

### Tổng quan:
Sau khi thực hiện tất cả các tính toán dựa trên tỉ lệ và các điểm, bạn sẽ có được kết quả mong muốn cho các yêu cầu của bài toán. Hãy sử dụng hình học và cơ sở vector nếu cần thiết trong quá trình.