Để chứng minh rằng các cặp số cho trước là số nguyên tố cùng nhau, tức là ước chung lớn nhất (UCLN) của chúng bằng 1, ta có thể sử dụng định lý Euclid hoặc tính tổng quát dựa vào tính chất của các số.

### a) \(n+1\) và \(n+2\)

Xét hai số \(a = n + 1\) và \(b = n + 2\). Ta có:
\[
b - a = (n + 2) - (n + 1) = 1
\]
Hai số chênh lệch nhau đúng một đơn vị, vậy UCLN của \(a\) và \(b\) là 1. Do đó, \(n + 1\) và \(n + 2\) là số nguyên tố cùng nhau.

### b) \(2n + 2\) và \(2n + 3\)

Gọi \(a = 2n + 2\) và \(b = 2n + 3\). Ta có:
\[
b - a = (2n + 3) - (2n + 2) = 1
\]
Vì \(a\) và \(b\) chênh lệch nhau một đơn vị, nên UCLN của \(2n + 2\) và \(2n + 3\) cũng bằng 1. Vậy chúng là số nguyên tố cùng nhau.

### c) \(2n + 1\) và \(n + 1\)

Gọi \(a = 2n + 1\) và \(b = n + 1\). Ta có:
\[
a - 2b = (2n + 1) - 2(n + 1) = 2n + 1 - 2n - 2 = -1
\]
Ta có UCLN của \(a\) và \(b\) cũng bằng 1, do có sự khác biệt tuyệt đối là 1. Do đó, \(2n + 1\) và \(n + 1\) là số nguyên tố cùng nhau.

### d) \(n + 1\) và \(3n + 4\)

Gọi \(a = n + 1\) và \(b = 3n + 4\). Ta có:
\[
b - 3a = (3n + 4) - 3(n + 1) = 3n + 4 - 3n - 3 = 1
\]
Vì sự chênh lệch là 1, nên UCLN của \(n + 1\) và \(3n + 4\) cũng là 1. Do đó, chúng là số nguyên tố cùng nhau.

### Kết luận
Tất cả bốn cặp số đều là số nguyên tố cùng nhau.