Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu từ giả thiết \( \tan \alpha = 2 \).

Từ công thức liên hệ giữa các hàm lượng giác, ta biết rằng:

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]

Do đó, nếu \( \tan \alpha = 2 \), thì ta có:

\[
\sin \alpha = 2 \cos \alpha
\]

Sử dụng định nghĩa \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), ta thay \(\sin \alpha\) vào:

\[
(2 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \\
4 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \\
5 \cos^2 \alpha = 1 \\
\cos^2 \alpha = \frac{1}{5} \\
\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \, \text{hoặc} \, \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}
\]

Nếu \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\), thì:

\[
\sin \alpha = 2 \cos \alpha = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

Với \(A\):

\[
A = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{2 \sin \alpha + 5 \cos \alpha}
\]

Thay các giá trị vào:

\[
A = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}}}{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{5}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{9}{\sqrt{5}}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
\]

Tiếp theo, tính \(B\):

\[
B = \frac{\sin^2 \alpha + 5 \cos^2 \alpha}{1 + 2 \cos^2 \alpha}
\]

Tính từng phần:

\[
\sin^2 \alpha = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5}
\]

Tính \(5 \cos^2 \alpha\):

\[
5 \cos^2 \alpha = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1
\]

Vậy:

\[
\sin^2 \alpha + 5 \cos^2 \alpha = \frac{4}{5} + 1 = \frac{4}{5} + \frac{5}{5} = \frac{9}{5}
\]

Tính \(1 + 2 \cos^2 \alpha\):

\[
1 + 2 \cdot \frac{1}{5} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}
\]

Cuối cùng, tính \(B\):

\[
B = \frac{\frac{9}{5}}{\frac{7}{5}} = \frac{9}{7}
\]

Vậy giá trị của biểu thức \(B\) là:

\[
B = \frac{9}{7}
\]