Để tính diện tích của hình thang trong bài toán, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các giá trị cần thiết**:
- Trung bình cộng hai cạnh đáy là \( \frac{b_1 + b_2}{2} = 2.675 \) m.
- Giả sử cạnh đáy lớn là \( b_2 \) và cạnh đáy bé là \( b_1 \). Theo đề bài, ta có:
\[
b_1 = \frac{2}{3} b_2
\]

2. **Thay thế vào công thức trung bình cộng**:
\[
\frac{\frac{2}{3}b_2 + b_2}{2} = 2.675
\]
- Thay \( b_1 \) vào, ta có:
\[
\frac{\frac{5}{3}b_2}{2} = 2.675
\]
- Nhân cả hai bên với 2:
\[
\frac{5}{3}b_2 = 5.35
\]
- Nhân cả hai bên với \(\frac{3}{5}\):
\[
b_2 = \frac{5.35 \times 3}{5} = 3.21 \text{ m}
\]

3. **Tìm cạnh đáy bé**:
\[
b_1 = \frac{2}{3} b_2 = \frac{2}{3} \times 3.21 = 2.14 \text{ m}
\]

4. **Tính chiều cao**:
- Chiều cao \( h \) bằng phần nửa cạnh đáy bé:
\[
h = \frac{1}{2} b_1 = \frac{1}{2} \times 2.14 = 1.07 \text{ m}
\]

5. **Tính diện tích hình thang**:
- Diện tích \( S \) của hình thang được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h
\]
- Thay các giá trị vào:
\[
S = \frac{1}{2} \times (2.14 + 3.21) \times 1.07 = \frac{1}{2} \times 5.35 \times 1.07
\]
- Tính:
\[
S = \frac{1}{2} \times 5.35 \times 1.07 = 2.68 \text{ m}^2
\]

Vậy, diện tích hình thang là **2.68 đề-xi-mét vuông**.