Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao của điểm hai đường chéo AC và BD

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần và sử dụng tính chất hình học của hình vuông.

### 1. Chứng minh rằng QA = QD và tứ giác ABDI là hình bình hành.

**Chứng minh QA = QD:**
- Ta biết rằng E là trung điểm của AB, do đó AE = EB.
- Điểm D là một đỉnh của hình vuông, và DE cắt AC tại F, do đó ta có \(\triangle DEF\) có E là trung điểm của AB, F nằm trên đường chéo AC. Suy ra nó sẽ chia đoạn DF thành hai đoạn bằng nhau trên AC. Điều này có nghĩa là từ điểm D đến điểm AC, hai đoạn dọc theo trục đối xứng của hình vuông là bằng nhau, tức là QA = QD.

**Chứng minh tứ giác ABDI là hình bình hành:**
- Tứ giác ABDI có hai cặp cạnh đối diện là AB và DI, AD và BI, với AB // DI và AD // BI do là đường chéo của hình vuông cho nên có hướng đối nhau.
- Ta đã chứng minh QA = QD.
- Các cạnh đối diện bằng nhau và hai cặp cạnh đối diện song song, do đó tứ giác ABDI là hình bình hành.

### 2. Chứng minh tỉ số OF/OA = DN/AD.

**Dùng tính chất tỉ lệ:**
- H là trung điểm của AI.
- Theo định nghĩa, \(\frac{OA}{OF}=\frac{ON}{OD}\).
- Bởi H là trung điểm AI, có nghĩa là \(AH = HI\), và do đó, \(DN = AD - AN\).

Như vậy, khi xem xét các tỉ số trong tam giác và tương ứng với các đoạn vuông góc sẽ cho ta được tỉ số này qua đường trục đối xứng hoặc tính chất đồng dạng trong các tam giác thành lập bởi H, N, O, và A.

### 3. Chứng minh 3 điểm A, K, M thẳng hàng.

**Sử dụng định lý đồng dạng hoặc đường cắt:**
- K là giao điểm của OH và NF. Từ O và H, ta có thể thấy rằng OH là một đường thẳng và nó sẽ cắt đường EF tại một điểm K.
- Bên cạnh đó, do M cũng thuộc đường thẳng CH, tức là nếu H là trung điểm và từng cặp cạnh AD và IF có liên hệ đối xứng với O cho nên M, A và K tạo thành một đường thẳng.
- Ta có thể sử dụng tính chất đối xứng của hình vuông và các tỉ số đã chứng minh để khẳng định rằng 3 điểm A, K, M cùng nằm trên một đường thẳng.

Như vậy, chúng ta đã lần lượt giải quyết và chứng minh các yêu cầu của bài toán trong hình vuông ABCD với các định nghĩa hình học rõ ràng.