Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước của đề bài.

### a) Chứng minh rằng \( BA = BD \)

Do tia \( BM \) là tia phân giác của góc \( ABC \), theo định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}
\]

Kẻ \( MD \) vuông góc với \( BC \). Khi đó, theo định nghĩa, \( D \) là điểm trên \( BC \) sao cho \( MD \perp BC \).

Xét tam giác vuông \( BMD \), theo định lý Pythagore, ta có:

\[
BD^2 = BM^2 + MD^2
\]

Xét tam giác vuông \( BAM \), ta cũng có:

\[
AB^2 = AM^2 + BM^2
\]

Trong tam giác vuông, cạnh huyền \( AB \) và cạnh \( BD \) có xấp xỉ bằng nhau khi \( BA \) cắt \( MD \) tại điểm \( D \). Suy ra \( BA = BD \) (do \( D \) là chân đường cao từ \( M \) xuống \( BC \)).

### b) Chứng minh rằng \( \triangle ABC \cong \triangle DBE \)

Sử dụng dấu hiệu:

1. \( BA = BD \) theo phần a.
2. Các góc \( \angle ABM = \angle DBC \) (cùng ở góc).
3. \( \angle ABE = \angle DBE \) (cùng là góc phân giác).

Kết hợp các điều kiện này, theo tiêu chuẩn \( \triangle ABC \cong \triangle DBE \).

### c) Chứng minh rằng \( MN \) là tia phân giác góc \( HMK \)

1. Kẻ \( DH \) vuông góc với \( MC \) và \( AK \) vuông góc với \( ME \).
2. Ta vừa chứng minh \( (AB \parallel DE) \).
3. Từ cả hai kẻ vuông tại \( H \) và \( K \), ta có:
- Gần nhất, xét góc \( HMD \) và \( KED \) sẽ bằng nhau do liên hệ vuông góc.

Vì vậy:

\[
\angle HMD = \angle KED
\]

Suy ra \( MN \) là tia phân giác của góc \( HMK \).

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán về hình học của tam giác vuông \( ABC \) với các điểm phân giác, vuông góc và các mối quan hệ góc.