Chúng ta có một tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) với \( AB = AC \). Theo đề bài, trên đường thẳng \( BC \), chúng ta lấy hai điểm \( M \) và \( N \) sao cho \( M \) nằm giữa \( B \) và \( N \) và \( BM = CN \).

Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Chứng minh tam giác \( MHB = NKC \)

1. **Xét các cạnh**:
- Có \( BM = CN \) theo giả thiết.
- \( MH \perp AB \) và \( NK \perp AC \) theo giả thiết, do đó:
- \( MB = HB \) (tương ứng với đường cao).
- \( NC = KC \) (tương ứng với đường cao).

2. **Xét các góc**:
- Góc \( MHB = 90^\circ \) (định nghĩa vuông góc).
- Góc \( NKC = 90^\circ \) (định nghĩa vuông góc).

3. **Kết luận**:
- Ta có \( MHB \) và \( NKC \) đều có hai cạnh tương ứng bằng nhau và một góc vuông.

Do đó, từ điều kiện trên, ta có \( \triangle MHB \cong \triangle NKC \) (cách chứng minh thiết lập của tam giác là cạnh-góc-cạnh).

### b) Chứng minh \( AH = AK \)

1. **Đặt điểm**:
- Xét \( AH \) là chiều cao từ \( A \) đến cạnh \( BM \).
- Xét \( AK \) là chiều cao từ \( A \) đến cạnh \( CN \).

2. **Chứng minh**:
- Trong tam giác \( ABC \), do tính cân của tam giác nên \( AH = AK \), bởi vì đường cao nào từ đỉnh của tam giác cân đến cạnh đáy đều bằng nhau.

### c) Chứng minh \( \triangle AMN \) là tam giác cân tại \( A \)

1. **Xét các đoạn**:
- Trong tam giác \( AMN \), có \( AM = AN \) (vì \( BM = CN \) và điểm \( M \) nằm giữa \( B \) và \( N \)).

2. **Chứng minh**:
- Do \( M \) và \( N \) là hai điểm trên cạnh \( BC \) sao cho \( M \) ở giữa \( B \) và \( N \), và từ đã biết \( BM = CN \).
- Hơn nữa, từ việc \( \triangle MHB \cong \triangle NKC \), ta có các thông số góc và cạnh đã được đồng nhất.

3. **Kết luận**:
- Suy ra \( \triangle AMN \) là tam giác cân tại \( A \).

Tóm tắt: Các kết luận trên rút ra điều kiện mà ta muốn chứng minh. Hy vọng rằng việc giải thích cùng với hình vẽ minh họa sẽ giúp bạn dễ dàng hơn trong việc hiểu bài toán.