Để giải bài toán đã cho, ta lần lượt sẽ xử lý từng phần một.

### Phần a) Chứng minh tam giác AMN cân.

**Giả thiết:** Tam giác ABC cân tại A với AB = AC. Điểm M nằm trên tia đối của tia BC, còn điểm N nằm trên tia đối của tia CB, sao cho BM = CN.

**Chứng minh:**
Ta sẽ chứng minh rằng góc BAM = góc CAN.

1. Vì tam giác ABC cân tại A, nên \(AB = AC\) và \( \angle ABC = \angle ACB\).
2. Ta có \(BM = CN\) (theo giả thiết).
3. Do đó, \( \angle ABM = \angle ACN\) (vì hai tam giác ABM và ACN đều có cạnh BM = CN và cạnh AB = AC).
4. Kết hợp với yếu tố tam giác ABC cân, ta có:
\[
\angle BAM = \angle ABC + \angle ABM
\]
\[
\angle CAN = \angle ACB + \angle ACN
\]
5. Suy ra \( \angle BAM = \angle CAN\).
6. Do đó, tam giác AMN cân tại A \( \Rightarrow AM = AN\).

### Phần b) Chứng minh tam giác BME = tam giác CNF.

**Giả thiết:** Kẻ BE vuông góc với AM và CF vuông góc với AN.

**Chứng minh:**
1. Ta có \(BE \perp AM\) và \(CF \perp AN\).
2. Ta đã chứng minh được rằng \(AM = AN\) và \(BM = CN\).
3. Từ tính chất của tam giác vuông, ta có:
\[
\angle BEM = \angle CNF = 90^\circ
\]
4. Do đó, ta có:
\[
BME \sim CNF \quad (BME = CNF \text{ tại các cạnh tương ứng})
\]
Suy ra \(BM = CN\) và \(BE = CF\).
5. Vì vậy, tam giác BME và CNF bằng nhau \(BME \cong CNF\).

### Phần c) Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN.

**Giả thiết:** Điểm O là giao điểm của EB và FC.

**Chứng minh:**
1. Do tam giác BME \(\cong\) CNF, nên mặt đối diện của chúng cũng bằng nhau:
\[
\frac{BM}{BE} = \frac{CN}{CF}
\]
2. Theo định lý tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC} = 1 \quad (\text{vì } AB = AC)
\]
3. Suy ra rằng AO là tia phân giác của góc MAN (giữa hai đoạn BE và CF).

### Phần d) Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng.

**Giả thiết:** H là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AM tại M và đường thẳng vuông góc với AN tại N.

**Chứng minh:**
1. Ta đã có rằng \(A\) là đỉnh của tam giác AMN, O là tia phân giác của góc MAN.
2. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc với AM và AN.
3. Theo định lý, hai đường thẳng vuông góc với AM và AN cắt nhau tại H, biểu thị mối quan hệ vuông góc với AO.
4. Suy ra rằng \(A, O, H\) thẳng hàng (vì H nằm trên đường phân giác của góc MAN).

**Kết luận:** Qua các chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng A, O, H là ba điểm thẳng hàng.

Như vậy, ta đã hoàn thành các phần của bài toán.