Cho đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R, C là trung điểm OA. Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường tròn tâm O sao cho MA>MB. đường thẳng MC cắt (O) tại D, đường thẳng qua D và vuông góc với AB cắt (O) tại E, đường thẳng ME cắt đường thẳng AB tại F

Để giải bài toán, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học phẳng, đặc biệt là về đường tròn và các đường thẳng.

### Phần a: Chứng minh \( AF = AO \)

1. Trong đường tròn (O) có đường kính AB, ta biết rằng bán kính \( R = \frac{AB}{2} = R \), do đó \( AO = R \).
2. C là trung điểm của OA, nên \( OC = \frac{OA}{2} = \frac{R}{2} \).
3. Điểm M nằm trên đường tròn (O) nên \( OM = R \).
4. Xét tam giác OAM, theo định lý Pythagore trong tam giác vuông OMC (vì MC vuông góc với AB), ta có \( OM^2 = OA^2 + AC^2 \) hay \( R^2 = OA^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 \).
5. Nên \( OA = R \) và do đó \( AF = AO = R \).

### Phần b: Chứng minh \( F,D,N \) thẳng hàng

1. Vì DE vuông góc với AB tại D, ta có DE là đường cao từ D xuống AB.
2. Do đó, tam giác MDE là tam giác vuông tại điểm D và đường thẳng ME song song với DE. Nếu ta kéo dài ME cắt AB tại F thì:
- Theo thuộc tính của các đường thẳng song song, ta có góc MDE = góc FDM.
3. Từ đó ta có \( F, D, N \) thẳng hàng vì \( H \) thuộc đường thẳng song song với DE nên kết luận \( F, D, N \) thẳng hàng.

### Phần c: Tính \( CH \) theo \( R \) khi \( EF = MC \)

1. Theo giả thiết, ta có \( EF = MC \) và thực tế là EF là đoạn thẳng từ E đến F và MC là đoạn thẳng từ M đến C.
2. H cũng nằm trên đường thẳng AB do đó chúng ta có thể viết:
- Khoảng cách \( CH = AO - AF \) bên trong tam giác OAF.
- GV M là một điểm bất kỳ trên điểm E gắn liền với đường tròn ta có kết quả.
3. Khi \( EF = MC \), suy ra \( R \) là tổng chiều dài mà chúng ta cần tính và do đó \( CH = R \).

Vậy chúng ta đã có kết quả cho ba phần:
1. \( AF = AO = R \)
2. \( F, D, N \) thẳng hàng
3. \( CH = R \)

Đó là các kết luận cơ bản dựa trên các thuộc tính của hình học và các tính chất của đường tròn.