a) Chứng minh tứ giác AHCN là hình chữ nhật:

• Ta có: F là trung điểm của AC và HN (gt) => AHCN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
• Mà góc AHC = 90 độ (AH là đường cao) => AHCN là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông)

b) Chứng minh tứ giác ADBM là hình thoi:

• Ta có: E là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC (gt) => EM là đường trung bình của ΔABC => EM // AC và EM = 1/2 AC
• Mà F là trung điểm của AC (gt) => EM = AF và EM // AF => AEMF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
• Lại có: ME = DE (gt) => AEMF là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)
• Mà AB ⊥ AC (ΔABC vuông tại A) => AD ⊥ AC => ADBM là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc)

c) Chứng minh HE ⊥ HF:

• Ta có: AHCN là hình chữ nhật (cmt) => AH // CN và AH = CN
• Mà AH ⊥ BC (AH là đường cao) => CN ⊥ BC
• Lại có: EM // AC (cmt) => HE // AC
• Mà AC ⊥ AB (ΔABC vuông tại A) => HE ⊥ AB
• Xét ΔAHB có:
  • HE ⊥ AB (cmt)
  • HF là đường trung tuyến (F là trung điểm của AH) => HE là đường cao của ΔAHB
• Xét ΔAHC có:
  • HF là đường trung tuyến (F là trung điểm của AH)
  • AH ⊥ HC (AH là đường cao) => HF là đường cao của ΔAHC
• Từ (1) và (2) suy ra: HE ⊥ HF