Cho Oxy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Từ A và B kẻ các đường thẳng AE, BF cùng vuông góc với tia OM. Chứng minh: AE = BF

Để chứng minh rằng \(AE = BF\), ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và trung điểm.

1. **Thiết lập tọa độ**:
- Gọi \(A(a, 0)\) là điểm trên tia \(Ox\).
- Gọi \(B(0, b)\) là điểm trên tia \(Oy\).
- Điểm \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), vì vậy tọa độ của \(M\) là:
\[
M\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

2. **Tính phương trình đường thẳng OM**:
- Đường thẳng \(OM\) đi qua điểm \(O(0, 0)\) và \(M\), có phương trình:
\[
y = \frac{b}{a}\cdot x
\]

3. **Tìm phương trình của đường thẳng AE**:
- \(AE\) vuông góc với \(OM\) nên có hệ số góc là \(-\frac{a}{b}\).
- Phương trình đường thẳng \(AE\) đi qua điểm \(A(a, 0)\):
\[
y - 0 = -\frac{a}{b}(x - a) \implies y = -\frac{a}{b}x + \frac{a^2}{b}
\]

4. **Tìm phương trình của đường thẳng BF**:
- Tương tự, \(BF\) vuông góc với \(OM\) nên cũng có hệ số góc là \(-\frac{a}{b}\).
- Phương trình đường thẳng \(BF\) đi qua điểm \(B(0, b)\):
\[
y - b = -\frac{a}{b}(x - 0) \implies y = -\frac{a}{b}x + b
\]

5. **Giải hệ phương trình để tìm giao điểm E và F**:
- Đặt phương trình của \(AE\) và \(BF\) bằng nhau để tìm giao điểm:
\[
-\frac{a}{b}x + \frac{a^2}{b} = -\frac{a}{b}x + b
\]
- Từ đó, giải được:
\[
\frac{a^2}{b} = b \implies a^2 = b^2 \implies a = b \text{ (do a,b là độ dài)}
\]

6. **Tính độ dài AE và BF**:
- Do \(AE\) và \(BF\) đều cùng vuông góc với \(OM\), và \(M\) là trung điểm, nên ta có:
\[
AE = AM \quad \text{và} \quad BF = BM
\]
- Sử dụng công thức tính độ dài từ điểm tới đường:
\[
AE = \frac{b}{\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}} = \frac{a}{\sqrt{1+\left(\frac{a}{b}\right)^2}} = BF
\]

Kết luận: \(AE = BF\).