Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện theo từng phần với những giúp đỡ từ hình học cơ bản.

**a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại C.**

Chúng ta có nửa đường tròn tâm O và đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn, vì vậy theo định lý của đường tròn, góc ACB sẽ là góc vuông. Điều này có thể được khẳng định bằng định lý sau:

- **Định lý:** Nếu A và B là hai điểm trên đường tròn, thì góc ACB là góc vuông nếu C nằm trên đường tròn và đoạn thẳng AB là đường kính của đường tròn đó.

Vì vậy, ta có:
\[ \angle ACB = 90^\circ \]
=> Tam giác ABC vuông tại C.

**b) Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn O.**

Theo tính chất của tiếp tuyến, một đường thẳng là tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn nếu nó vuông góc với bán kính vẽ từ tâm của đường tròn đến điểm đó.

- Ta gọi \( D \) là giao điểm của bán kính \( OB \) và đường thẳng \( KC \).
- Về mặt hình học, vì KC đi qua K và vuông góc với bán kính OB (vì KC là đường thẳng song song với AC), do đó \( KC \) vuông góc với \( OB \) tại B.

Với \( OC \) là bán kính của đường tròn O, theo tính chất của tam giác vuông ACB, ta có:

\[ OC \perp KC \]

Vì vậy, đường thẳng KC là tiếp tuyến tại điểm B của đường tròn tâm O khi nó vuông góc với bán kính OB. Điều này chứng tỏ rằng KC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

Tóm lại, ta đã chứng minh:
- Tam giác ABC vuông tại C.
- KC là tiếp tuyến của đường tròn O tại điểm B.