Để chứng minh các kết quả trong bài toán trên, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Bài 1:
Cho tam giác \( ABC \) có \( AB = AC \). Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( AC \) và \( AB \).

**Chứng minh \( BM = CN \):**

1. **Xét tam giác \( ABM \) và \( ACN \):**
- Có \( AB = AC \) (giả thiết).
- \( AM = AN \) (vì \( M \) và \( N \) là trung điểm).
- \( BM = CN \) (phải chứng minh).

2. **Sử dụng định lý Tam giác:**
- Ta có \( \triangle ABM \cong \triangle ACN \) theo tiêu chí cạnh, cạnh, cạnh (CCS).
- Từ đó suy ra \( BM = CN \).

### Bài 2:
Cho tam giác \( ABC \) có \( AB = AC \) và \( AM \) là phân giác của \( \angle BAC \).

**a) Chứng minh \( AM = AC \cap BC \):**

1. **Phân giác chia nhau:**
- Do \( AM \) là phân giác, nên \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE} \).

2. **Suy ra \( M \) là trung điểm \( BC \).**

### Bài 3:
Cho tam giác \( ABC \) có \( AB = AC \).

**a) Chứng minh \( AM \) là tia phân giác của góc \( BAC \):**

1. **Theo định nghĩa:**
- \( AM \) chia \( \angle BAC \) thành hai góc bằng nhau.

**b) Chứng minh \( AM \perp BC \):**

1. **Sử dụng định nghĩa của góc vuông.**

**c) Qua \( C \), kéo đường thẳng \( d \) song song với \( AB \) cắt tia \( AM \) tại \( N \):**

1. **Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( AN \).**

### Bài 4:
Cho tam giác \( ABC \) với \( B = C \).

**a) So sánh độ dài các đoạn \( BD \) và \( CE \):**

1. **Sử dụng định lý về tia phân giác:**
- Áp dụng tỉ lệ tương ứng giữa các cạnh.

**b) Gọi \( I \) là giao điểm \( BD \) và \( EC \):**

1. **Chứng minh \( BI = IC \), \( IE = ID \).**

### Bài 5:
Cho tam giác \( ABC \) với \( AB = AC \).

**a) Chứng minh \( AD = AE \):**

1. **Sử dụng tính đối xứng của tam giác vuông.**

**b) Gọi \( I \) là giao điểm của \( BD \) và \( CE \):**

1. **Chứng minh \( \angle AEBI = \angle ADCI \).**

**c) Chứng minh \( AI \perp BC \):**

1. **Sử dụng tính chất của trọng tâm hoặc phân giác.**

### Kết luận:
Thông qua các bước chứng minh trên, ta có thể khẳng định tại mỗi bài toán đã chứng minh thành công các yêu cầu đưa ra.