Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh tam giác MAB và tam giác MDC bằng nhau.

Ta có:

- M là trung điểm của BC, nên \( MB = MC \).
- Đối với điểm D, ta có \( MD = MA \) và \( MA = MD \).
- Xét các cạnh:
- MA = MD (giả thiết).
- MB = MC (vì M là trung điểm).
- Cạnh AM và cạnh MD đều có độ dài bằng nhau.

Ta áp dụng định lý cạnh - cạnh trong tam giác:

1. Cạnh thứ nhất: \( AM = MD \).
2. Cạnh thứ hai: \( MB = MC \).
3. Cạnh thứ ba: \( AB = CD \) (vì điểm D được lấy trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA).

Vì vậy, từ các cặp cạnh này chúng ta có thể kết luận rằng:

\[
\triangle MAB \cong \triangle MDC
\]

(cấu trúc bằng nhau theo điều kiện cạnh - cạnh - cạnh, C - C - C).

### b) Tính độ dài đoạn thẳng CK.

Trên cạnh AB, ta lấy điểm I sao cho \( BI = 2 \) cm. Kéo dài IM cắt cạnh CD tại K.

Từ tam giác MAB và MDC đã chứng minh có sự tương đương, chúng ta có thể phân tích thêm cấu trúc:

- I là điểm trên cạnh AB, với \( BI = 2 \) cm, nên \( AI = AB - 2 \) cm.
- Theo tính chất của tam giác và tỉ lệ, khi IM cắt CD tại K, ta sẽ có tỉ lệ giữa các đoạn:

Do \( M \) là trung điểm, tỉ lệ MA:MD = 1:1, nên K chia đoạn CD thành tỉ lệ cố định.

Giả sử cạnh CD có độ dài \( x \), ta có thể phân tích điều kiện sau:

\[
CK = \frac{AI \cdot CD}{AB} = \frac{(AB - 2) \cdot x}{AB}
\]

Tính cụ thể hơn với thực tế áp dụng độ dài \( AB > 2 \) cm, mà \( I \) luôn cách điểm B một khoảng cách cố định là 2 cm.

Nếu đưa vào độ dài cụ thể AB = \( a \), có thể triển khai cụ thể như sau:

\[
CK = \frac{(a - 2) \cdot x}{a}
\]

Từ đó, CK sẽ được tính dựa trên độ dài cạnh CD mà bạn có (trong điều kiện đã biết chiều dài cụ thể của AB).

Hy vọng điều này giúp ích cho bạn trong việc giải quyết bài toán!