Để tìm các số nguyên tự nhiên \( n \) sao cho \( 2n^2 - 6n \) là số nguyên tố, trước tiên chúng ta có thể rút gọn biểu thức này:

\[
2n^2 - 6n = 2n(n - 3)
\]

Biểu thức này chỉ có thể là số nguyên tố nếu một trong hai yếu tố \( 2 \) hoặc \( n(n - 3) \) bằng 1 (vì một số nguyên tố có đúng hai ước số: 1 và chính nó).

Xét hai trường hợp:

1. **Trường hợp 1:** \( 2 = 1 \) (không thể xảy ra).

2. **Trường hợp 2:** \( n(n - 3) = 1 \):

- Nếu \( n = 1 \):
\[
1(1 - 3) = 1 \cdot (-2) = -2 \quad \text{(không thỏa điều kiện)}
\]

- Nếu \( n = 4 \):
\[
4(4 - 3) = 4 \cdot 1 = 4 \quad \text{(không thỏa điều kiện)}
\]

Như vậy, không có giá trị nào của \( n \) làm cho \( 2n^2 - 6n \) là số nguyên tố.

Tiếp theo, xét biểu thức \( \frac{2n^2 - 5}{n + 1} \) xem có thể trở thành số nguyên tố khi nào.

Để \( \frac{2n^2 - 5}{n + 1} \) là số nguyên, điều kiện cần thiết là \( n + 1 \) phải chia hết cho \( 2n^2 - 5 \). Tiến hành thực hiện phép chia đa thức \( 2n^2 - 5 \) cho \( n + 1 \):

1. **Chia \( 2n^2 \) cho \( n + 1 \)**:
- \( 2n^2 \div n = 2n \).
- Nhân \( 2n \) với \( n + 1 \) ta được \( 2n^2 + 2n \).
- Trừ đi: \( 2n^2 - 5 - (2n^2 + 2n) = -5 - 2n \).

2. **Kết quả là**:
\[
\frac{2n^2 - 5}{n + 1} = 2n - 2 - \frac{(2n + 5)}{n + 1}
\]

Do đó, \( \frac{2n + 5}{n + 1} \) cần là số nguyên.

Tiến hành rút gọn tiếp:
\[
\frac{2n + 5}{n + 1} = 2 + \frac{3}{n + 1}
\]

Để \( \frac{3}{n + 1} \) là số nguyên, thì \( n + 1 \) phải chia hết cho \( 3 \).

Điều này xảy ra khi \( n + 1 = 3k \) cho một số nguyên \( k \).

vậy \( n = 3k - 1 \).

Thay vào ta có 2 trường hợp: \( k = 1 \) thì \( n = 2 \), \( k = 2 \) thì \( n = 5 \), ... Nếu với \( k = 0 \) thì \( n = -1 \) không hợp lệ.

Cuối cùng, với đáp án là:

- \( n = 2 \) cho ra số nguyên tố.
- Và các giá trị n tiếp theo sẽ là số nguyên chỉ dừng ở các số nguyên dương như \( n = 5, 8, 11, ... \)

Các giá trị \( n \) bạn có thể đưa ra để kiểm tra là: **\( n = 2, n = 5, n = 8 \)**.