Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( C = 2x^2 - 5x + 4 \), chúng ta sẽ sử dụng công thức và phương pháp tìm cực trị của hàm bậc 2.

Biểu thức \( C = ax^2 + bx + c \) với \( a = 2 \), \( b = -5 \), và \( c = 4 \).

Giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai xảy ra tại \( x = -\frac{b}{2a} \):

\[
x = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4}
\]

Bây giờ, chúng ta thay giá trị \( x \) này vào biểu thức \( C \) để tìm giá trị nhỏ nhất:

\[
C\left(\frac{5}{4}\right) = 2\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{4}\right) + 4
\]

Tính từng phần:

\[
\left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}
\]

\[
C\left(\frac{5}{4}\right) = 2 \cdot \frac{25}{16} - 5 \cdot \frac{5}{4} + 4
\]
\[
= \frac{50}{16} - \frac{25}{4} + 4
\]
\[
= \frac{50}{16} - \frac{100}{16} + \frac{64}{16}
\]
\[
= \frac{50 - 100 + 64}{16}
\]
\[
= \frac{14}{16} = \frac{7}{8}
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( C \) là:

\[
\boxed{\frac{7}{8}}
\]