Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai điểm M, N xác định bởi

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm trong tam giác cũng như các định nghĩa về điểm.

**a)** Xét \( \vec{AN} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{3}{2} \vec{AC} \):

- Gọi \( A, B, C \) lần lượt là các điểm trong không gian.
- Trọng tâm \( G \) của tam giác thoả mãn:
\[
\vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}).
\]
- Để tính \( \vec{AN} \), ta có thể thay thế \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \) vào công thức.

Khi thay các biểu thức vào, bạn sẽ thấy rằng \( \vec{AN} \) có thể được biểu diễn lại để đánh giá xem phương trình có đúng hay không.

**b)** Xét \( 3\vec{GA} + 4\vec{GB} = 7\vec{GM} \):

- Thực hiện thay \( \vec{GA} = \vec{A} - \vec{G} \) và tương tự cho \( \vec{GB} \) và \( \vec{GM} \), sau đó thay vào và tính toán.

**c)** Xét \( \vec{GB} - 3\vec{GC} = 2\vec{GN} \):

- Tương tự, thay \( \vec{GB} \) và \( \vec{GC} \) vào biểu thức và kiểm tra.

**d)** Ba điểm \( M, G, N \) thẳng hàng:

- Sử dụng tính chất trực giao và hướng của các vector để kiểm tra xem ba điểm này có thẳng hàng hay không, có thể kiểm tra bằng định thức của các vector.

Tóm lại, để kết luận từng mệnh đề, bạn sẽ cần thực hiện phép tính và so sánh kết quả để xác định tính đúng đắn.