Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều dài \( x \) của mảnh vườn hình chữ nhật sao cho diện tích phần đất còn lại không quá \( 350 \, \text{m}^2 \).

1. Tính diện tích toàn bộ khu đất:
\[
S_{\text{toàn bộ}} = 21 \times 21 = 441 \, \text{m}^2
\]

2. Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật:
\[
S_{\text{vườn}} = 7 \times x \, \text{(với } 7 < x < 21\text{)}
\]

3. Diện tích phần đất còn lại:
\[
S_{\text{còn lại}} = S_{\text{toàn bộ}} - S_{\text{vườn}} = 441 - 7x
\]

4. Để diện tích phần đất còn lại không quá \( 350 \, \text{m}^2 \), ta có:
\[
441 - 7x \leq 350
\]

5. Giải bất phương trình:
\[
441 - 350 \leq 7x
\]
\[
91 \leq 7x
\]
\[
x \geq \frac{91}{7} = 13
\]

6. Kết hợp với điều kiện \( 7 < x < 21 \), ta có:
\[
13 \leq x < 21
\]

7. Giá trị nhỏ nhất của \( x \) thỏa mãn điều kiện trên là:
\[
x = 13
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( x \) để diện tích phần đất còn lại không quá \( 350 \, \text{m}^2 \) là **13 m**.