Để chứng minh \( KA \) là tia phân giác của góc \( IKD \), ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định các tam giác**:
- Ta có tam giác vuông \( \triangle ABC \) tại \( A \) với \( AB < AC \).
- Theo giả thiết, \( K \) là điểm trên \( BC \) sao cho \( AB = BK \).

2. **Sử dụng tính chất của tam giác cân**:
- Từ \( A \) kẻ đường thẳng \( KA \) cắt \( BH \) và \( AB \) tại \( N \) và \( D \).
- Trong tam giác \( \triangle ABK \), từ việc có \( AB = BK \), ta nên có \( \angle ABK = \angle AKB \).

3. **Tính chất của tia phân giác**:
- Theo định lý về tia phân giác: Tia phân giác \( KA \) chia góc \( IKD \) thành hai góc bằng nhau, tức là \( \angle KAI = \angle AKD \).
- Để chứng minh điều này, ta cần chỉ ra rằng \( \frac{AN}{AD} = \frac{KN}{KD} \).

4. **Chứng minh tỉ số độ dài**:
- Từ tính chất của các đoạn thẳng cắt nhau, ta có thể chứng minh rằng tỉ số hai đoạn thẳng trên là bằng nhau thông qua các phép biến hình hoặc tỉ số giữa các cạnh tương ứng trong các tam giác vuông tại các điểm như \( N, D, H \).

5. **Kết luận**:
- Từ những lý thuyết trên, ta có thể kết luận rằng \( KA \) là tia phân giác của \( \angle IKD \).

Bạn có thể tham khảo thêm các chứng minh hình học khác có liên quan đến tính chất của các góc và các tam giác để bổ sung thêm kiến thức nếu cần.