Để chứng minh hai điều cần chứng minh trong hình thang ABCD (AB // CD), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học.

1. **Chứng minh MN // AB**:

Gọi \(AB = a\) và \(CD = b\). Vì M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC, ta có:
- \(AM = MD\)
- \(BN = NC\)

Do \(AB \parallel CD\), theo tính chất của hình thang, ta có:
- \( \angle AMD = \angle BNC\) (cùng phụ với góc tại điểm A và B).
- \( \angle MNA = \angle NDC\) (cùng phụ với góc tại điểm D và C).

Như vậy, tam giác \(AMN\) và \(BNC\) có hai cặp góc tương ứng bằng nhau, nên:
Tam giác \(AMN\) ~ Tam giác \(BNC\) (theo tiêu chuẩn góc-góc). Do đó, MN // AB.

2. **Chứng minh MN = (AB + CD)/2**:

Sử dụng định lý trung bình cho đoạn thẳng. Theo định lý này, độ dài của đường thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh song song trong hình thang được tính bằng trung bình cộng của độ dài hai cạnh đó:
\[ MN = \frac{AB + CD}{2} \]
Tức là,
\[ MN = \frac{a + b}{2} \]

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng:
- MN // AB
- MN = \frac{AB + CD}{2}

Điều này hoàn thành yêu cầu bài toán.