Để rút gọn biểu thức \( M \), ta sẽ thực hiện từng phần trong biểu thức đã cho.

Biểu thức ban đầu là:

\[
M = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x}}{x-1} \right) \cdot \left( \frac{2}{x} - \frac{2-x}{\sqrt{x+x}} \right)
\]

### Bước 1: Rút gọn phần đầu

Ta tái tổ chức phần đầu \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x}}{x-1} \):
- Đặt \( \sqrt{x} \) ra ngoài.

\[
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x}}{x-1} = \sqrt{x} \left( \frac{1}{\sqrt{x-1}} + \frac{1}{x-1} \right)
\]

Để cộng hai phân số này lại, ta cần một mẫu số chung:

\[
\frac{1}{\sqrt{x-1}} + \frac{1}{x-1} = \frac{x-1 + \sqrt{x-1}}{(x-1)\sqrt{x-1}}
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{\sqrt{x}(x - 1 + \sqrt{x - 1})}{(x - 1)\sqrt{x - 1}}
\]

### Bước 2: Rút gọn phần hai

Xem xét phần sau của biểu thức:

\[
\frac{2}{x} - \frac{2-x}{\sqrt{x+x}} = \frac{2}{x} - \frac{2-x}{\sqrt{2x}}
\]

Đặt mẫu số chung là \( x\sqrt{2x} \):

\[
\frac{2\sqrt{2x} - (2-x)x}{x\sqrt{2x}}
\]

### Bước 3: Kết hợp lại

Sau khi làm việc với cả hai phần, ta sẽ kết hợp và thực hiện các phép rút gọn tiếp theo.

### Bước 4: Tìm \(x\) để \(M = -\frac{1}{2}\)

Giải phương trình:

\[
M = -\frac{1}{2}
\]

Thực hiện từng bước để tìm giá trị cụ thể cho \( x \).

**Chú ý**: Khi thực hiện việc tính toán và rút gọn, hãy đảm bảo rằng các bước giải được kiểm tra kỹ để tránh sai sót.