Để rút gọn biểu thức \( S = \sin(A+B) + \sin C + \cos(B+C) + \cos A \), ta sẽ sử dụng một số định lý lượng giác như định lý về tổng và hiệu của sin và cos.

### Bước 1: Thay thế \(\sin(A+B)\) và \(\cos(B+C)\)

Theo định lý lượng giác, ta có:
- \(\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\)
- \(\cos(B + C) = \cos B \cos C - \sin B \sin C\) (nhưng chúng ta sẽ cần thêm một bước để xử lý).

### Bước 2: Sử dụng tính chất trong tam giác

Do \( A + B + C = 180^\circ \), ta có thể ghi lại các mối quan hệ sau:
- \( C = 180^\circ - (A + B) \), từ đó suy ra:
\[\sin C = \sin(180^\circ - (A + B)) = \sin(A + B)\]
và
\[\cos C = \cos(180^\circ - (A + B)) = -\cos(A + B)\]

### Bước 3: Thay thế và rút gọn

Thay vào biểu thức \( S \):

\[
S = \sin(A+B) + \sin C + \cos(B+C) + \cos A
\]

Ta biết rằng \(\sin C = \sin(A + B)\), do đó,

\[
S = \sin(A + B) + \sin(A + B) + \cos(B + C) + \cos A
\]

Nên:

\[
S = 2\sin(A + B) + \cos(B + C) + \cos A
\]

### Bước 4: Tính giá trị \(\cos(B+C)\)

Tiếp theo, thay \( C = 180^\circ - (A + B) \) vào \( \cos(B+C) \):

\[
\cos(B+C) = \cos(B + (180^\circ - (A + B))) = \cos(180^\circ - A) = -\cos A
\]

### Bước 5: Thay vào biểu thức

Giờ chúng ta thay \(\cos(B+C)\) vào biểu thức \( S \):

\[
S = 2\sin(A + B) - \cos A + \cos A
\]

Hai thành phần \(-\cos A\) và \(+\cos A\) sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chúng ta có:

\[
S = 2\sin(A + B)
\]

### Bước 6: Thay \(\sin(A+B)\) bằng \(\sin C\)

Như vậy, ta có thể thay \( \sin(A+B) \) bởi \( \sin C \):

\[
S = 2\sin C
\]

### Kết luận

Do đó, biểu thức \( S \) rút gọn được thành:

\[
S = 2\sin C
\]

Vậy lựa chọn chính xác là **A. \( S = 2\sin C \)**.