Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

**a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác ACE**

Việc chứng minh này sử dụng tính chất của tam giác và các cặp cạnh và góc tương ứng.

1. **Cạnh AB = AC**: Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

2. **Cạnh BD = CE**: Theo giả thiết đã cho, BD = CE.

3. **Góc ADB = Góc AEC**:
- Vì D và E đều nằm trên tia đối của BC và CB, chúng ta có thể nhận thấy rằng các góc ADB và AEC đối xứng nhau qua đường thẳng AC. Điều này cho ra góc ADB = góc AEC.

Vậy có ba cặp cạnh và góc tương ứng bằng nhau:
- AB = AC
- BD = CE
- ∠ADB = ∠AEC

Theo tiên đề về tam giác đồng dạng (cạnh - góc - cạnh), chúng ta suy ra rằng:
Tam giác ABD ~ tam giác ACE.

Từ đó, kết luận rằng:
Tam giác ABD = tam giác ACE.

---

**b) Kẻ BH vuông góc với AD tại H, kẻ CK vuông góc với AE tại K, HB giao KC tại M. Chứng minh rằng MB = MC.**

1. **Xét Tam giác ADB và ACE:**
- Từ chứng minh ở phần a), chúng ta có ABD = ACE.

2. **Vì AB = AC và BD = CE, nên chiều cao từ B và C đến các cạnh AD và AE cũng tương đương trong tam giác này. Do đó, H và K là chân đường vuông góc từ B và C tới AD và AE.**

3. **Khả năng đối xứng:**
- Từ tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACE, điểm H sẽ đối xứng với điểm K qua cạnh AM (với M là giao điểm của HB và KC).
- Hơn nữa, vì cả 2 tam giác ABD và ACE đều bằng nhau, và AD, AE là các cạnh tương ứng, ta có thể biểu diễn rằng MA = MB và MA = MC, từ đó suy ra MB = MC.

Từ các lập luận trên, ta kết luận rằng MB = MC, tức là M là trung điểm của đoạn BC.

Như vậy, ta đã chứng minh xong yêu cầu bài toán theo từng bước một cách chi tiết.