Để chứng minh các tứ giác \( ANOM \) và \( ANIO \) nội tiếp, ta cần chứng minh rằng hai cặp góc đối diện của các tứ giác này đều bằng nhau.

### a. Chứng minh tứ giác \( ANOM \) nội tiếp:

1. **Xét tứ giác \( ANOM \)**:
- Cần chứng minh \( \angle ANM + \angle AOM = 180^\circ \).
- Ta có \( \angle ANM = \angle AOM \) (góc này nằm trong cùng một bán kính từ \( O \) đến \( M \)).
- \( OM \) là tiếp tuyến của đường tròn tại \( M \), do đó \( \angle AMO = 90^\circ \) (theo tính chất của tiếp tuyến).

2. **Tính toán góc**:
- \( \angle AOM + \angle ANM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

### b. Chứng minh tứ giác \( ANIO \) nội tiếp:

1. **Xét tứ giác \( ANIO \)**:
- Cần chứng minh \( \angle ANI + \angle AIO = 180^\circ \).
- Tương tự, ta có \( \angle AIO = \angle ANO \), vì cả hai góc này đều nằm trong cùng một bán kính từ \( O \) đến \( I \).

2. **Tính toán góc**:
- \( \angle ANI + \angle AIO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

### Kết luận:
Đã chứng minh được rằng cả hai tứ giác \( ANOM \) và \( ANIO \) đều nội tiếp.