Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước chứng minh như đề bài yêu cầu. Đầu tiên, hãy vẽ tam giác ABC với AB = AC và M là trung điểm của BC.

### A) Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác AMC

1. **Giả thiết**: AB = AC (theo đề bài).
2. **M là trung điểm của BC**: => BM = MC.
3. **Cạnh chung**: AM là cạnh chung của tam giác AMB và AMC.

Từ giả thiết trên, ta có:

- AB = AC (1)
- BM = MC (2)
- AM = AM (3)

Áp dụng định lý đồng dạng tam giác, ta có:

\[\triangle AMB \equiv \triangle AMC \quad (c.g.c)\]

### B) Chứng minh AE = AF

- Xét hai đường thẳng ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC.
- Ta có:

1. \(\angle AEM = \angle AFM = 90^\circ\) (định nghĩa vuông góc).
2. Đoạn thẳng AE và AF đều là đường cao từ điểm M xuống hai cạnh AB và AC của tam giác.

Do AMB và AMC là hai tam giác bằng nhau (theo phần A), thì các đoạn thẳng AE và AF cũng đồng đều.

Do đó, ta có:

\[AE = AF\]

### C) Chứng minh EF // BC

- Xét các góc:
1. \(\angle AEM + \angle AEF = 90^\circ + \angle AEF\)
2. \(\angle AEF + \angle AFM = \angle AEF + 90^\circ\)

Nhận thấy rằng:

\[ \angle AEM = \angle AFM \]

=> Khi đó, hai góc bên ngoài EF và BC cũng sẽ bằng nhau.

Suy ra:

\[EF // BC\]

### D) Chứng minh a, m, n thẳng hàng

- Với đường thẳng vuông góc từ B kẻ xuống AB (gọi điểm giao là điểm N) và từ C kẻ xuống AC (gọi điểm giao là điểm M).
- Theo tính chất của tam giác vuông, ta có N, M là các điểm trên đường thẳng EF vuông góc với BC.
- Do đó, các đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm (gọi là điểm P).

Vì N là điểm vuông góc từ B đến AB, và M từ C đến AC, suy ra:

- Các đường thẳng BM, CN, EF, BC đồng quy tại điểm P.

Với điều này khẳng định rằng ba điểm A, M, N là thẳng hàng.

### Hình Vẽ

Hình vẽ có thể mô tả theo các bước sau:

1. Tam giác ABC với AB = AC.
2. Điểm M là trung điểm của BC.
3. Hai đường vuông góc ME (với AB) và MF (với AC).
4. Đường thẳng kéo từ B vuông góc với AB và từ C vuông góc với AC gặp nhau tại điểm N.

Như vậy, qua các lập luận và hình vẽ, bạn đã hoàn thành bài toán.