Để tính độ dài của đoạn thẳng \( AM \) và \( BD \) trong tam giác cân \( ABC \) tại \( A \), chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Gọi các điểm và thông tin đã cho**:
- Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), tức là \( AB = AC = a \).
- \( H \) là trung điểm của cạnh \( BC \).

2. **Tính tọa độ các điểm**:
- Gọi \( A(0, h) \), \( B(-\frac{a}{2}, 0) \), \( C(\frac{a}{2}, 0) \).
- Tọa độ của điểm \( H \) là:
\[
H\left(0, \frac{0 + 0}{2}\right) = H(0, 0)
\]

3. **Tính hình chiếu**:
- Để tìm điểm \( D \), là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \), trước tiên ta cần phương trình của đường thẳng \( AC \).
- Đường thẳng \( AC \) có phương trình:
\[
y = -\frac{h}{\frac{a}{2}} \left(x - \frac{a}{2}\right) + 0 = -\frac{2h}{a}x + h
\]
- Ta tìm hình chiếu của \( H(0, 0) \) trên đường thẳng này bằng cách giải hệ phương trình:
\[
y = -\frac{2h}{a}x + h
\]
- Thay \( x = 0 \) vào để tìm \( y \):
\[
y = h \text{ khi } x = 0
\]
- Như vậy, điểm \( D \) có tọa độ là \( D(0, h) \).

4. **Tính M**, trung điểm của \( HD \):
- Tọa độ điểm \( D \) là \( D(0, 0) \) và \( H(0, h) \).
- Vậy tọa độ của điểm \( M \) là:
\[
M = \left(0, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(0, \frac{h}{2}\right)
\]

5. **Tính độ dài \( AM \)**:
- Tính độ dài \( AM \):
\[
AM = \sqrt{(0 - 0)^2 + \left(h - \frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{h}{2}\right)^2} = \frac{h}{2}
\]

6. **Tính độ dài \( BD \)**:
- Từ \( B(-\frac{a}{2}, 0) \) đến \( D(0, h) \):
\[
BD = \sqrt{\left(0 + \frac{a}{2}\right)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}
\]

Như vậy, bạn đã tính được:
- \( AM = \frac{h}{2} \)
- \( BD = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2} \)

Để có giá trị cụ thể của \( AM \) và \( BD \), bạn sẽ cần biết chiều cao \( h \) của tam giác \( ABC \) với cạnh \( AB = AC = a \). Nhưng trong trường hợp này, chúng ta không có thông tin cụ thể về \( h \).