Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= I2x+y+1I + Imx+2y+3I khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = |2x + y + 1| + |mx + 2y + 3| \) khác 0, chúng ta sẽ phân tích từng phần trong biểu thức.

Đầu tiên, hãy sử dụng lý thuyết về giá trị tuyệt đối. Biểu thức này là tổng của hai giá trị tuyệt đối. Để giá trị tối thiểu của A khác 0, cả hai thành phần trong A đều không thể đồng thời bằng 0.

1. Đặt \( A_1 = |2x + y + 1| \) và \( A_2 = |mx + 2y + 3| \).
2. Chúng ta cần tìm điều kiện sao cho \( A_1 + A_2 \) có giá trị nhỏ nhất mà khác 0.

**Tìm điều kiện với \( A_1 = 0 \) hoặc \( A_2 = 0 \)**

- Nếu \( A_1 = 0 \): \( 2x + y + 1 = 0 \) kéo theo \( y = -2x - 1 \).
- Thay vào biểu thức \( A_2 \): \( A_2 = |m x + 2(-2x - 1) + 3| = |m x - 4x + 1| = |(m - 4)x + 1| \).
- Để giá trị của \( A_2 \) khác 0, thì \( (m - 4)x + 1 \neq 0 \) cho mọi x.

- Nếu \( A_2 = 0 \): \( mx + 2y + 3 = 0 \) kéo theo \( 2y = -mx - 3 \rightarrow y = -\frac{m}{2}x - \frac{3}{2} \).
- Thay vào biểu thức \( A_1 \): \( A_1 = |2x + (-\frac{m}{2}x - \frac{3}{2}) + 1| = |(2 - \frac{m}{2})x - \frac{1}{2}| \).
- Để giá trị của \( A_1 \) khác 0, thì \( (2 - \frac{m}{2})x - \frac{1}{2} \neq 0 \) cho mọi x.

**Tìm giá trị nhỏ nhất cho \( A \)**

Giá trị nhỏ nhất của \( A \) sẽ đạt được nếu tồn tại một giá trị \( (x, y) \) sao cho ít nhất một trong hai phần của biểu thức bằng 0, và phần còn lại vẫn khác 0.

Một trường hợp đơn giản là:

- Nếu \( 2x + y + 1 = 0 \) và bị ràng buộc bởi một đường thẳng, đồng thời xem xét các giá trị khác cho \( A_2 \).

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) mà không bằng 0 sẽ phụ thuộc vào các giá trị của \( m \).

Nếu bạn có giá trị cụ thể cho \( m \), chúng ta có thể đánh giá phù hợp hơn.

***Tóm lại***: Để tính giá trị nhỏ nhất của \( A \) khác 0, cần tìm mối quan hệ giữa \( x \) và \( y \) để bảo đảm rằng cả hai phần của biểu thức không thể đồng thời bằng 0.