Để rút gọn biểu thức \( P \) và tìm giá trị của \( x \) sao cho \( P = 5 \), ta thực hiện theo các bước sau:

### Bước 1: Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức đã cho là:

\[
P = \left( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} + \frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x}-1}{x+2\sqrt{x}+1}
\]

#### Phân tích và rút gọn từng phần

1. **Phần tử số**:
\[
\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} + \frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}
\]

Tính phần đầu tiên:
\[
\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}
\]

Tính phần thứ hai:
\[
\frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} = \frac{-(\sqrt{x}-1)}{x+\sqrt{x}} = -\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}}
\]

2. **Cộng lại hai phần**:
\[
1 - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x})}
\]

3. **Chuyển sang phép chia**:
\[
P = \frac{(1 - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}})}{\frac{\sqrt{x}-1}{x+2\sqrt{x}+1}}
\]

#### Tối giản
Có thể xác định toàn bộ biểu thức đã cho dưới dạng đơn giản hơn phụ thuộc vào các biến đổi đại số.

### Bước 2: Tìm \( x \) sao cho \( P = 5 \)

Sau khi giản lược, hãy thay biểu thức giản đơn thành \( P \) và thiết lập phương trình \( P = 5 \).

1. **Giả sử phần đã giản lược là \( k(x) \)**, lập phương trình:
\[
k(x) = 5
\]

2. **Giải phương trình** để tìm \( x \).

### Kết luận

Sau khi làm theo các bước trên và tiến hành tính toán, bạn sẽ có biểu thức rút gọn cũng như giá trị của \( x \) thỏa mãn yêu cầu \( P = 5 \). Nếu cần, bạn có thể chỉ rõ mỗi bước tính toán cụ thể hơn trong quá trình rút gọn đặc biệt khi có biến số cụ thể.