Chứng minh:

### a) Đường tròn đường kính AH đi qua hai điểm D và E:

1. **Xác định các điểm**: Gọi \( H \) là giao điểm của hai đường cao \( BD \) và \( CE \). Đường tròn có đường kính \( AH \) có tâm là trung điểm của đoạn \( AH \) và bán kính bằng \( \frac{AH}{2} \).

2. **Chứng minh D, E nằm trên đường tròn**:
- Xét tam giác \( AHE \). Theo định nghĩa, các góc ở đỉnh \( H \) = 90 độ (do \( H \) là giao điểm của hai đường cao).
- Do đó:
\[
\angle AHE = 90^\circ
\]
- Theo định lý đường tròn, nếu một góc tạo bởi dây cung là góc vuông, thì điểm đó nằm trên đường tròn có đường kính là dây cung. Từ đây, điểm \( E \) nằm trên đường tròn đường kính \( AH \).
- Tương tự, với tam giác \( AHD \), ta cũng có:
\[
\angle AHD = 90^\circ
\]
- Do đó, điểm \( D \) cũng nằm trên đường tròn đường kính \( AH \).

**Kết luận**: Hai điểm \( D \) và \( E \) nằm trên đường tròn đường kính \( AH \).

---

### b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AMDC cân và MD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH:

1. **Chứng minh \( \triangle AMDC \) cân**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \), có nghĩa là \( MB = MC \).
- Trong tam giác \( AMC \), ta có:
\[
AM = AM \text{ (đương nhiên)}
\]
\[
MB = MC \text{ (do M là trung điểm)}
\]
- Do đó, theo định lý tam giác cân, ta có \( AM = AC \) và \( \triangle AMB \cong \triangle AMC \).

2. **Chứng minh MD là tiếp tuyến**:
- Để chứng minh \( MD \) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \( AH \), ta cần chứng minh rằng \( \angle MHD = 90^\circ \).
- Từ chứng minh a), ta biết rằng \( D \) và \( E \) nằm trên đường tròn có đường kính \( AH \).
- Vậy dễ dàng thấy rằng \( H \) nằm trong thì \( AH \perp MD \) trong tam giác vuông \( AHE \), tức là \( MD \) vuông góc với đường kính \( AH \).

**Kết luận**: \( \triangle AMDC \) là tam giác cân tại \( M \) và \( MD \) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \( AH \).