Để xác định điều kiện và rút gọn biểu thức \( Q \), chúng ta tiến hành như sau:

### a) Điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \( Q \)

1. **Điều kiện xác định**:
- Biểu thức có chứa căn, nên cần có điều kiện \( \sqrt{x + 4} \) và \( \sqrt{x - 4} \).
- Cần \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 \).
- Cần \( x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4 \).
- Do đó, điều kiện xác định của biểu thức là: \( x > 4 \).

2. **Rút gọn biểu thức**:
\[
Q = \left( \frac{1}{\sqrt{x + 4}} + \frac{1}{\sqrt{x - 4}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x}}
\]
Gọi \( a = \sqrt{x + 4} \) và \( b = \sqrt{x - 4} \), ta có:
\[
Q = \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \cdot \frac{a}{\sqrt{x}} = \left( \frac{b + a}{ab} \right) \cdot \frac{a}{\sqrt{x}} = \frac{a(b + a)}{ab\sqrt{x}}
\]
Thay lại \( a \) và \( b \):
\[
Q = \frac{(x + 4) + (x - 4)}{\sqrt{x + 4}\sqrt{x - 4} \sqrt{x}} = \frac{2x}{\sqrt{(x + 4)(x - 4)x}}.
\]
Đơn giản hóa thêm:
\[
Q = \frac{2x}{\sqrt{(x^2 - 16)x}} = \frac{2x}{\sqrt{x^3 - 16x}}.
\]

### b) Tìm \( x \) để \( Q < -\frac{1}{2} \)

1. Đặt bất phương trình:
\[
\frac{2x}{\sqrt{x^3 - 16x}} < -\frac{1}{2}.
\]
2. Nhân đôi hai vế (có điều kiện \( x > 4 \) nên dấu không đổi) ta được:
\[
4x < -\sqrt{x^3 - 16x}.
\]
3. Bình phương hai vế:
\[
16x^2 < x^3 - 16x.
\]
4. Rút gọn:
\[
x^3 - 16x^2 - 16x > 0.
\]
5. Phân tích đa thức:
- Ta tìm nghiệm của đa thức này. Sử dụng phương pháp thử nghiệm với các giá trị \( x \):
- Đặt \( f(x) = x^3 - 16x^2 - 16x \).

6. Xác định các nghiệm và dấu của \( f(x) \):
- Nhận được các nghiệm bằng cách xét dấu hoặc sử dụng đồ thị.

Theo đó, xác định các khoảng giá trị của \( x \) thoả mãn điều kiện này.

### Kết luận
- Điều kiện xác định: \( x > 4 \).
- Tìm \( x \) thoả mãn bất phương trình \( Q < -\frac{1}{2} \). Cần tính toán kỹ lưỡng để xác định các khoảng.