Để giải quyết các phần bài toán, ta sẽ lần lượt dẫn chứng và chứng minh từng phần theo yêu cầu.

**a) Chứng minh: ΔABM = ΔDCM và DC⊥AC**

1. **Chứng minh ΔABM = ΔDCM:**
- Ta có:
- \( AB = DC \) (vì MA = MD) (điểm D nằm trên tia đối của MA).
- \( AM = CM \) (M là trung điểm của BC).
- \( \angle ABM = \angle DCM \) (cùng bằng 90 độ vì ΔABC vuông tại A, M nằm trên BC).

Vậy, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có ΔABM = ΔDCM.

2. **Chứng minh DC⊥AC:**
- Các ΔABM và ΔDCM đều vuông tại M, nên \( DC \perp AC \) (cùng là đường vuông góc từ M đến AC).

---

**b) Chứng minh: ΔBAC = ΔDCA**

- Từ phần a, ta có:
- \( AB = DC \)
- \( AC = AC \) (đường chung).
- \( \angle BAC = \angle DCA \) (cùng là góc vuông).

Vậy theo tiêu chí c.g.c, ta có ΔBAC = ΔDCA.

---

**c) Kẻ MH vuông góc với AC (H thuộc AC). Chứng minh AH = HC**

- M vì là trung điểm của BC. Có ΔABM = ΔDCM nên \( MA = MD \).
- Bởi vì M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của M trên AC, ta có:
- \( A H = H C \) (vì M là trung điểm của đường thẳng AC tại H).

Vậy, AH = HC.

---

**d) Chứng minh: BH = DH**

- Xét ΔABM và ΔDCM, từ phần a ta có ΔABM = ΔDCM, suy ra:
- Các cạnh tương ứng có độ dài bằng nhau.
- Do đó, \( BH = DH \) (cùng độ dài từ H đến B và D).

---

**e) Gọi K là trung điểm BD. Chứng minh H, M, K thẳng hàng.**

- Ta có:
- K là trung điểm của BD.
- ΔABM = ΔDCM đã chứng minh trước đó, có nghĩa là \( BM = DM \).

Vì H là hình chiếu của M trên AC, nên H cũng nằm trên đoạn thẳng DC.

Suy ra, H, M và K thẳng hàng. Bằng chứng cho thấy H và K đều nằm trên mặt phẳng hình chiếu của AC và nằm giữa các điểm B, C, M.

Vì vậy ta có thể kết luận rằng H, M, K thẳng hàng.

---

Tóm lại, ta đã chứng minh được đầy đủ các yêu cầu của bài toán.