Để giải bất phương trình \( 100,1 < 6x + \sqrt{x^6} < 111,1 \), trước hết, ta có thể viết lại biểu thức:

\[
\sqrt{x^6} = x^3 \quad (\text{vì } x \geq 0)
\]

Vậy, bất phương trình trở thành:

\[
100,1 < 6x + x^3 < 111,1
\]

Chia thành hai bất phương trình:

1. **Bất phương trình 1:**
\[
6x + x^3 > 100,1
\]

Đặt \( f(x) = x^3 + 6x - 100,1 \).

2. **Bất phương trình 2:**
\[
6x + x^3 < 111,1
\]

Đặt \( g(x) = x^3 + 6x - 111,1 \).

**Giải bất phương trình 1:**

Tìm nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \):

- Thử các giá trị \( x \):
- \( x = 4 \): \( f(4) = 4^3 + 6 \cdot 4 - 100,1 = 64 + 24 - 100,1 = -12,1 \) (không đủ)
- \( x = 5 \): \( f(5) = 5^3 + 6 \cdot 5 - 100,1 = 125 + 30 - 100,1 = 54,9 \) (đủ)

Dùng phương pháp nội suy hoặc xét dấu để tìm nghiệm chính xác hơn.

**Giải bất phương trình 2:**

- Tương tự, xét:
- \( g(4) = 4^3 + 6 \cdot 4 - 111,1 = 64 + 24 - 111,1 = -23,1 \)
- \( g(5) = 5^3 + 6 \cdot 5 - 111,1 = 125 + 30 - 111,1 = 43,9 \)

Xét dấu hai nghiệm và xác định khoảng nghiệm cho \( x \).

Sau khi tìm được nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \), ta sẽ thu được khoảng nghiệm cho \( x \). Hãy thay thế các giá trị vào để kiểm tra.

**Kết luận**: Bạn hãy giải các phương trình trên để tìm ra nghiệm cuối cùng cho \( x \).