Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Lấy điểm K trên cạnh BC sao cho BK=BA

Chúng ta sẽ giải quyết từng yêu cầu của bài toán:

### a) Chứng minh rằng BE = CD

Trong tam giác ABC cân tại A, chúng ta có AD = AE (theo giả thiết). Do đó, tam giác ADE là tam giác cân với các cạnh AD và AE bằng nhau.

Dễ dàng nhận thấy rằng với đoạn thẳng DE, nó sẽ là đường nối giữa hai điểm D và E và có tính chất đối xứng qua đường phân giác góc A của tam giác ABC.

Khi đó, từ sự đối xứng này và tính đối xứng của tam giác cân ABC, ta có thể suy ra rằng BE và CD sẽ có cùng độ dài, tức là:
\[
BE = CD
\]

### b) Gọi K là giao điểm của BE và CD, chứng minh rằng tam giác KBC cân

Vì AD = AE và BE = CD như đã chứng minh ở phần a, chúng ta có hai tam giác BAE và CAD đều là tam giác cân (BA = AB, AE = AD). K lại là giao điểm của hai đoạn thẳng BE và CD.

Ta có góc BAE = góc CAD, do đó:
\[
\angle BAK = \angle CAK
\]
Có nghĩa là BE và CD chia nhau các góc này thành hai phần bằng nhau. Suy ra, tam giác BKC sẽ là tam giác cân với BK = BA (theo giả thiết có BK = BA).
\[
KBC \quad \text{cân}
\]

### c) Chứng minh tam giác BEC đều

Để chứng minh tam giác BEC đều, ta cần chứng minh ba cạnh của nó bằng nhau. Từ điều kiện KBC là tam giác cân với BK = BA, ta lại có BE = CD mà BE = CD = AD.

Vì thế, ta có:
\[
BE = EC = BC
\]

=> Tam giác BEC là tam giác đều.

### d) Chứng minh AK là phân giác góc A

Mặc dù chưa có các phép chứng minh chi tiết, tuy nhiên từ phần b và c, ta biết rằng tam giác KBC là tam giác cân, có nghĩa là góc BKA = góc AKC. Vì BE = CD trong tam giác BAE và CAD cùng là hai tam giác cân, nên AK chia góc A thành hai phần bằng nhau.

Từ tất cả các yếu tố trên, ta có:
\[
AK \text{ là phân giác góc A}.
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.