Để chứng minh các tính chất trong tam giác ABC như đã nêu, ta sẽ sử dụng các tính chất cơ bản về hình học.

### a) Chứng minh rằng \(AD = FE\)

1. **Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB\)**: Điều này có nghĩa là \(AD = DB\).

2. **Gọi đường thẳng qua \(D\) song song với \(BC\) cắt \(AC\) tại \(E\)**: Theo định lý Thales, nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác cắt hai cạnh còn lại, thì đoạn cắt ra tỷ lệ với các đoạn còn lại của cạnh tương ứng.

Do đó, từ điều này ta có:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]

Tuy nhiên, bởi vì \(AD = DB\), nên:
\[
\frac{AD}{AD} = 1 = \frac{AE}{EC} \Rightarrow AE = EC
\]

3. **Gọi đường thẳng qua \(E\) song song với \(AB\) cắt \(BC\) tại \(F\)**: Tương tự như trên, ta cũng có từ tính chất của các đường thẳng song song:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{DF}{FB}
\]

Nhưng vì \(AD = DB\) và \(AE = EC\), ta cũng có rằng:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{DF}{FB} \Rightarrow DF = FB
\]

Vừa xét \(DF\) và \(FB\) có tỷ lệ 1:1, ta suy ra \(FE = AD\).

### b) Chứng minh rằng tam giác \(ADE \sim EFC\)

Do \(DE \parallel FC\) (do định nghĩa đường thẳng qua \(D\) song song với \(BC\) và đường thẳng qua \(E\) song song với \(AB\)), sử dụng tính chất đường thẳng song song, ta có:

- \(\angle ADE = \angle EFC\)
- \(\angle AID = \angle CEF\)

Từ đó có thể kết luận rằng hai tam giác \(ADE\) và \(EFC\) đồng dạng (do có hai cặp góc tương ứng bằng nhau).

### c) Chứng minh rằng \(AE = EC\)

Như đã chỉ ra ở phần a), khi chứng minh \(AD = FE\) ta cũng có sự đồng nhất trong \(AE\) và \(EC\), từ mối quan hệ tỷ lệ:

\[
\frac{AE}{EC} = 1 \Rightarrow AE = EC
\]

Vậy ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu đề bài.

Tóm lại, ta đã chứng minh được:
1. \(AD = FE\)
2. Tam giác \(ADE \sim EFC\)
3. \(AE = EC\)

Hy vọng rằng bạn sẽ hài lòng với đáp án này!