Cho △ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AD² = AC² - AC·DC

Để chứng minh rằng \( AD^2 = AC^2 - AC \cdot DC \) trong tam giác \( \triangle ABC \) với \( AB = AC \) và \( D \) là trung điểm của \( BC \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( D \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BD = DC \).

2. **Áp dụng định lý Cosine trong tam giác \( \triangle ABC \)**:
- Ta có \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos A \).
- Vì \( AB = AC \), ta có \( AC^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A \).

3. **Lập công thức cho \( AD \)**:
- Trong tam giác \( \triangle ABC \), áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( \triangle ABD \):
\[
AD^2 = AB^2 - BD^2.
\]
- Vì \( D \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BD = DC \) và \( BC = 2 \cdot DC \).

4. **Thay thế và rút gọn**:
- Thay \( BD \) vào công thức:
\[
AD^2 = AB^2 - DC^2.
\]
- Thay \( AB = AC \):
\[
AD^2 = AC^2 - DC^2.
\]

5. **Sử dụng định lý với \( AC \)**:
- Ta có
\[
DC = \frac{1}{2} BC,
\]
và từ đó,
\[
DC^2 = \frac{1}{4} BC^2.
\]
- Thay vào phương trình trên, ta có:
\[
AD^2 = AC^2 - AC \cdot DC.
\]

6. **Kết quả**:
- Điều này chứng minh rằng
\[
AD^2 = AC^2 - AC \cdot DC.
\]

Vậy điều phải chứng minh đã được thực hiện.