Bạn Lan tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n và nhận thấy tổng đó chia hết cho 29. Bạn Loan tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến m và cũng nhận thấy tổng đó chia hết cho 29. Tìm các số tự nhiên m và n biết rằng 50

Tổng các số tự nhiên từ 1 đến \( n \) được tính bằng công thức:

\[
S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Để tổng này chia hết cho 29, ta cần:

\[
\frac{n(n + 1)}{2} \equiv 0 \pmod{29}
\]

Điều này có thể được viết lại là:

\[
n(n + 1) \equiv 0 \pmod{58}
\]

(Bởi vì \( n(n + 1) \) phải chia hết cho 58 để sau khi chia đôi chúng vẫn chia hết cho 29).

Điều này có nghĩa là một trong hai số \( n \) hoặc \( n + 1 \) phải chia hết cho 58. Nhưng vì \( n \) là một số tự nhiên và \( n < 50 \), ta có điều kiện:

1. \( n \equiv 0 \pmod{58} \) không hợp lệ vì không có số \( n < 50 \) thoả mãn.
2. \( n + 1 \equiv 0 \pmod{58} \) nghĩa là \( n = 57 \), cũng không hợp lệ vì \( n < 50 \).

Vì vậy, ta tìm những \( n \) mà \( n(n + 1)/2 \equiv 0 \pmod{29} \). Ta sẽ tính lần lượt cho các giá trị \( n \) từ 1 đến 49.

Tiến hành kiểm tra:

- Với \( n = 1 \) đến \( n = 49 \), ta tính \( \frac{n(n + 1)}{2} \) và kiểm tra chia hết cho 29.

Chúng ta tìm các giá trị chia hết cho 29 trong khoảng \( n < 50 \):

- \( n = 27 \): \( S_{27} = \frac{27 \cdot 28}{2} = 378 \), \( 378 \div 29 = 13 \) (chia hết).
- \( n = 41 \): \( S_{41} = \frac{41 \cdot 42}{2} = 861 \), \( 861 \div 29 = 29.65 \) (không chia hết).

Bây giờ kiểm tra \( m < n \):

Tiếp tục tính \( S_m \) cho các \( m < n \) và tìm ra một số sao cho cũng chia hết cho 29, trong đó:

- \( m = 16 \): \( S_{16} = \frac{16 \cdot 17}{2} = 136 \), \( 136 \div 29 = 4.69 \) (không chia hết).
- \( m = 27 \): \( S_{27} = 378 \) (được).

Tìm nhiều \( m\) khác nhau cho \( n = 27 \):

- \( m = 8 \): \( S_8 = \frac{8 \cdot 9}{2} = 36 \), \( 36 \div 29 = 1.24 \) (không chia hết).
- \( m = 14 \): \( S_{14} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 105 \), \( 105 \div 29 = 3.62 \) (không chia hết).

Do đó, một ví dụ cho \( m < n < 50 \) và \( S_n \equiv S_m \equiv 0 \pmod{29}\) là:

- \( n = 27 \) và \( m = 8 \)

Kết quả là:

\[
(m, n) = (8, 27)
\]

Các cặp như sau: (m, n) = (8,27), (14,27) nếu kiểm tra sẽ cho số khác đáp ứng điều kiện.