Để tìm giá trị của \( n \) sao cho \( 3n + 4 \) chia hết cho \( 2n + 1 \), chúng ta cần giải phương trình:

\[
3n + 4 \equiv 0 \mod (2n + 1)
\]

Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm \( n \) sao cho:

\[
3n + 4 = k(2n + 1)
\]

với \( k \) là một số nguyên.

Chúng ta có:

\[
3n + 4 = k(2n + 1) \implies 3n + 4 = 2kn + k
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
3n - 2kn + 4 - k = 0 \implies (3 - 2k)n + (4 - k) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm \( n \), hai hệ số bên trái phải cùng bằng 0:

1. \( 3 - 2k = 0 \)
2. \( 4 - k = 0 \)

Giải phương trình 1:

\[
3 - 2k = 0 \implies k = \frac{3}{2}
\]

Giải phương trình 2:

\[
4 - k = 0 \implies k = 4
\]

Hai giá trị này không thể đồng thời thỏa mãn, vì \( k \) không thể vừa bằng \( \frac{3}{2} \) vừa bằng \( 4 \).

Vì vậy, chúng ta phải kéo dài phương pháp để tìm các giá trị cụ thể cho \( n \).

Tiếp theo, thay giá trị \( k \) vào biểu thức và tìm giá trị của \( n \):

**Xét phép chia:**

Ta có:

\[
(3n + 4) \div (2n + 1)
\]

Thực hiện phép chia \( 3n + 4 \) cho \( 2n + 1 \):

1. Lấy \( k = 1 \):

\[
3n + 4 = 1(2n + 1) \implies 3n + 4 = 2n + 1 \implies n + 4 = 1 \implies n = -3
\]

2. Lấy \( k = 2 \):

\[
3n + 4 = 2(2n + 1) \implies 3n + 4 = 4n + 2 \implies 4 - 2 = n \implies n = 2
\]

**Kết quả cuối cùng:**

Chúng ta có hai giá trị của \( n \) là \( n = -3 \) và \( n = 2 \).

Vậy \( n \) để \( 3n + 4 \) chia hết cho \( 2n + 1 \) là \( n = -3 \) và \( n = 2 \).