a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}} \right) = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{1}} \right) = 0\).

Do đó \(y = - x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) \(y' = - 1 + \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},x \ne 1\).

c) Có \(y' = \frac}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(2\).

d) Với \(x > 1\), ta có:

\({x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m + 2 \ge 0\)\( \Leftrightarrow m\left( {x - 1} \right) \ge - {x^2} + 2x - 2\)\( \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - {x^2} + 2x - 2}}\) hay \(f\left( x \right) \le m\).

Từ bảng biến thiên, ta có \(f\left( x \right) \le - 2\) với mọi \(x > 1\).

Suy ra nếu \(m \ge - 2\) thì bất phương trình \(f\left( x \right) \le m\) nghiệm đúng với mọi \(x > 1\).