a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) Các vectơ (khác vectơ \[\overrightarrow 0 \]) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là: \[\overrightarrow {AB\,} \],\[\overrightarrow {AC\,} \],\[\overrightarrow {AD\,} \],\[\overrightarrow {BA\,} \],\[\overrightarrow {BC\,} \],\[\overrightarrow {B{\rm{D}}\,} \],\[\overrightarrow {CA\,} \],\[\overrightarrow {CB\,} \],\[\overrightarrow {C{\rm{D}}\,} \],\[\overrightarrow {DA\,} \],\[\overrightarrow {DB\,} \],\[\overrightarrow {DC\,} \].

Do đó có \[12\] vectơ thỏa mãn yêu cầu.

b) \[(\overrightarrow {AB\,} ,\overrightarrow {BC} ) = 180^\circ - (\overrightarrow {BA\,} ,\overrightarrow {BC} ) = 180^\circ - \widehat {ABC} = 120^\circ \].

c) \[\overrightarrow {BE\,} = \overrightarrow {BC\,} + \overrightarrow {CE\,} = \overrightarrow {BC\,} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD\,} = \overrightarrow {BC\,} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD\,} - \overrightarrow {BC\,} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC\,} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BD\,} \].

Do đó \[m = 0\],\[n = \frac{2}{3}\],\[p = \frac{1}{3}\]. Suy ra \[m + n + p = 1\].

d) Ta có: \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} } \right) - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {AB} \)

\( = \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) - \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \).

Suy ra: \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AD} .\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}.\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}.{\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \)

\( = \frac{2}{3}.a.a.\cos 60^\circ + \frac{1}{3}{a^2} - a.a.\cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{6}\).