Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có AD là đường cao. Gọi H là trực tâm của tam giác. Tia AD cắt (O) ở E

Để chứng minh hai điều đã cho trong tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O với đường cao AD và H là trực tâm của tam giác, ta sẽ thực hiện như sau:

1. **Chứng minh \( \angle DEB = \angle DAC = \angle DBH \)**:

- Gọi \( \angle DAC \) là góc giữa đường cao AD và cạnh AC. Do AD là đường cao từ A xuống BC nên \( \angle DAC \) cũng là góc giữa đường cao và cạnh mà nó hạ xuống.
- Xét điểm D là chân đường cao và góc \( \angle DEB \) là góc mà tia AD cắt đường tròn tại điểm E (chúng ta sẽ gọi đường tròn là (O)).
- Bởi vì điểm E nằm trên đường tròn (O) và AD là đường cao, góc \( \angle DEB \) sẽ là góc nội tiếp đối diện với dây cung DB.
- Theo tính chất của góc nội tiếp, ta có: \( \angle DEB = \angle DAC \).

- Với \( \angle DBH \): H là trực tâm của tam giác ABC, do đó \( H \) là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC, trong đó có đường cao AH. Tia BH cũng sẽ tạo với tia AD một góc tại D.
- Vì H là trực tâm nên tồn tại tỉ lệ giữa góc nội tiếp và góc phản diện tạo thành bởi các cạnh của tam giác, cho ta rằng: \( \angle DBH = \angle DAC \).

Kết luận: \( \angle DEB = \angle DAC = \angle DBH \).

2. **Chứng minh điểm H và E đối xứng với nhau qua BC**:

- Gọi M là giao điểm của AD với BC (D là chân đường cao hạ từ A). Dễ dàng nhận thấy rằng H là trực tâm và điểm E nằm trên đường tròn, chúng ta cần chứng minh H và E là hai điểm đối xứng qua đường thẳng BC.
- Trong tam giác, nếu \( H \) là trực tâm và \( D \) là chân đường cao, thì \( H\) sẽ nằm trên đường thẳng AD.
- Xét các tính chất cho trực tâm: Phân giác tạo ra góc 90 độ với các cạnh tương ứng của tam giác. Do đó, tỉ số giữa \( DH \) và \( DE \) sẽ cho biết họ nằm đối xứng.

- Khi điểm H đối diện với điểm E qua đường thẳng BC, tức là:
\[
BH = EH
\]
và các góc tạo ra từ E trở qua B và C thì đều sẽ bằng nhau, tức là \( \angle EBC = \angle HBC \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng H và E là hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng BC.

Kết luận cuối cùng:

1. \( \angle DEB = \angle DAC = \angle DBH \)
2. Điểm H và E đối xứng với nhau qua BC.