Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ tiến hành từng phần một.

**a) Chứng minh đường tròn đường kính AI đi qua K.**

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi D là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng BC. Do tam giác ABC cân tại A, nên AD = DC = x.
- Điểm I là giao điểm của đường cao AH và BK.

2. **Sử dụng tính chất của góc và đường tròn:**
- Ta cần chứng minh rằng góc AKI = 90 độ.
- Từ tính chất đường cao, ta có rằng góc AHI = 90 độ (AH là đường cao).
- Hình thành tam giác IKH, trong đó I là giao điểm, do đó góc IKA cũng là góc ngoài và có thể biểu diễn dưới dạng góc tại điểm A.

3. **Áp dụng định lý đường kính:**
- Vì AI là đường kính của đường tròn, nên nếu AKI = 90 độ, theo định lý đường kính trong hình học, K nằm trên đường tròn đường kính AI.

Vậy, ta đã chứng minh đường tròn đường kính AI đi qua K.

**b) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.**

1. **Sử dụng tính chất tiếp tuyến:**
- Để chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn tại K, ta chỉ cần chứng minh rằng HK vuông góc với AI tại điểm K.
- Từ phần trước, ta đã biết góc AKI = 90 độ.

2. **Kết luận:**
- Do đó, HK vuông góc với AI, và theo định nghĩa, HK là tiếp tuyến của đường tròn tại K.

Nên chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI cũng đã hoàn thành.

Tóm lại:
- a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.
- b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.