Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, C là điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AC > BC (C khác A và B). Kẻ CH ⊥ AB và OI ⊥ AC

Để giải bài toán hình học này, chúng ta sẽ thực hiện theo từng phần:

### a. Chứng minh: C, H, O, I cùng thuộc 1 đường tròn.

Trong nửa đường tròn (O; R), điểm C được chọn sao cho AC > BC. Chúng ta có:

- CH ⊥ AB, nghĩa là CH vuông góc với đường kính AB.
- O là trung điểm của AB và cũng là tâm của nửa đường tròn.

Do đó, tam giác ACB là tam giác vuông tại C (vì C nằm trên nửa đường tròn). Theo định lý đường tròn, thì điểm H, O, C cùng thuộc một đường tròn có đường kính là AB, do đó kết luận rằng C, H, O, I cùng nằm trên một đường tròn.

### b. Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn. Tia OI cắt Ax tại M.

Phân tích tiếp tuyến:
- Tia tiếp tuyến Ax sẽ vuông góc với bán kính tại điểm A (tức là OA). Do đó, ta có ∠OAM = 90°.

Tia OI cắt Ax tại điểm M. Theo định lý đường tròn, ta có:
\[ OI \cdot OM = R^2 \]
Trong đó R là bán kính của đường tròn.

### c. Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh: ΔAMO đồng dạng ΔHCB và CK = KH.

Để chứng minh tính đồng dạng giữa ΔAMO và ΔHCB, ta hoàn tất như sau:

1. **Tam giác AMO**:
- Có một góc vuông tại M (do góc OAM là góc vuông).

2. **Tam giác HCB**:
- Góc HCB cũng là góc vuông (do C nằm trên nửa đường tròn).

Sự tương đồng giữa hai tam giác này có thể được chứng minh thông qua các góc bằng nhau và tỉ số các cạnh tương ứng. Cụ thể, bạn có thể chứng minh rằng các cặp góc tương ứng bằng nhau (góc tại M bằng góc tại C, và góc AMO bằng góc HCB), do đó ta suy ra:
\[
\Delta AMO \sim \Delta HCB.
\]

Cuối cùng, để chứng minh \( CK = KH \), bạn cần chỉ ra rằng K là trung điểm của đoạn thẳng CH (vì K là giao điểm). Từ đó, kết luận được là \( CK = KH \).

Vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh cho cả ba câu hỏi trong bài toán này.