Để đa thức \( 17a^8b^{2n+1} - 9a^{15}b^{13} \) chia hết cho đơn thức \( 4a^{n+3}b^{11} \), ta cần kiểm tra các bậc của \( a \) và \( b \) trong cả hai đa thức.

1. **Xét bậc của \( a \)**:
- Trong \( 17a^8b^{2n+1} \), bậc của \( a \) là 8.
- Trong \( -9a^{15}b^{13} \), bậc của \( a \) là 15.

Do đó, bậc nhỏ nhất đối với \( a \) là 8.

Để có thể chia hết cho \( 4a^{n+3}b^{11} \):
\[
8 \geq n + 3 \implies n \leq 5.
\]

2. **Xét bậc của \( b \)**:
- Trong \( 17a^8b^{2n+1} \), bậc của \( b \) là \( 2n + 1 \).
- Trong \( -9a^{15}b^{13} \), bậc của \( b \) là 13.

Do đó, bậc nhỏ nhất đối với \( b \) là \( 2n + 1 \).

Để có thể chia hết cho \( 4a^{n+3}b^{11} \):
\[
2n + 1 \geq 11 \implies 2n \geq 10 \implies n \geq 5.
\]

Từ hai điều kiện trên, ta có:
\[
n \leq 5 \quad \text{và} \quad n \geq 5 \implies n = 5.
\]

Vậy giá trị của số tự nhiên \( n \) là \( \boxed{5} \).